Занятие 4. Контрольная работа по теме «Аналитическая геометрия»

Занятие 5. Матрицы. Операции над матрицами

Задачи: произведение линейной комбинации матриц на матрицу, произведение матриц: строка- столбец, столбец- строка, строка- квадратная матрица, квадратная матрица-столбец (в т.ч. единичные строки-столбцы), умножение на диагональную матрицу, произведение диагональных матриц.

Пример.

Задача 5.1. Вычислить:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

Задача 5.2. Вычислить A+B, A×B – B×A, (A×B)^T, B^T×A^T, A^T×B^T, A^-1, B^-1, (A+2B)^-1,

(A×B)^-1, B^-1×A^-1, (B×A)^-1, A^-1×B^-1, (A^T)^-1, где:

1) , ; 2) , .

Занятие 6. Определители. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Ранг матрицы

Вычисление определителя с помощью свойств определителя.

Пример 1.Вычислим определитель разложением по второй строке:

Пример 2. поскольку 1-я и 3-я строки пропорциональны.

Пример 3.

Пример 4.

Задача 6.1. Вычислить определители:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Задача 6.2. Преобразовать определитель и вычислить его разложением по строке (столбцу):

1) ; 2) ; 3) ; 4*) .

Задача 6.3. Вычислить определитель:

1) разложением по 3-й строке ;

2) разложением по 2-му столбцу .

Задача 6.4. Вычислить определители:

1) ; 2) ; 3) ;

4*) ; 5*) .

Пример 5. Приведем к ступенчатой форме матрицу .

Пример 6. Вычислим ранг матрицы ,

приведенной к ступенчатой форме.

В ступенчатой форме матрицы 3 ненулевые строки, следовательно, RgA=3.

Задача 6.5. Привести матрицу к ступенчатой форме и найти ее ранг:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; .

Занятие 7. Обратная матрица. Правило Крамера

Пример 1. Вычислим : ;

составим матрицу из алгебраических дополнений:

; транспонируем полученную матрицу: ;

разделив каждый элемент последней матрицы на , получим обратную матрицу:

Проверим:

Пример 2. Решим матричное уравнение :

Пример 3. Найдем методом Гаусса-Жордана матрицу, обратную к матрице .

Решение

Т.е. .

Проверим. Верно.

Ответ: .

Пример 4. Решим по формулам Крамера систему:

, , ,

Проверим:

Задача 7.1. Решить линейную систему по правилу Крамера:

1) 2) 3) 4)

Задача 7.2. Решить линейную систему по правилу Крамера:

1) 2)

3) 4)

Занятие 8. Однородные системы линейных алгебраических уравнений

Пример 1. Исследуем однородную систему линейных алгебраических уравнений

Исследовать однородную систему — ответить на вопрос является ли система нетривиально совместной, и если является, то найти ее общее решение.

Решение. Решим задачу методом Гаусса-Жордана.

Приведем матрицу системы к ступенчатому виду, выполняя элементарные преобразования строк (прямой ход метода Гаусса):

Ранг матрицы системы равен r = 2, число неизвестных n =4, r < n — система нетривиально совместна. Кроме того, очевидно, множества решений исходной системы и системы с преобразованной матрицей совпадают.

Продолжим преобразование матрицы системы, выполняя элементарные операции со строками так, чтобы базисный минор матрицы стал единичным (обратный ход метода Гаусса):

Запишем эквивалентную систему уравнений:

Главный минор матрицы этой системы — .

Следовательно, переменные — базисные переменные, а — свободные.

Перенесем свободные переменные вправо:

Получили выражение базисных переменных через свободные. Такое выражение — общее решение однородной системы, записанное «на языке систем».

Найдем базис в подпространстве решений системы (фундаментальную систему). Для этого положим значения свободных переменных равными и вычислим базисные переменные:

Тогда вектор — решение однородной системы.

Затем положим значения свободных переменных равными и вычислим базисные переменные:

Тогда вектор — решение однородной системы.

Векторы — линейно независимые решения однородной системы размерность пространства решений которой d = n– r = 4 – 2 = 2, т.е. — базис пространства решений.