Тема: Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по длине балки

Время выполнения работы – 3часа

Цель: Для балки, лежащей на двух опорах и нагруженной сосредоточенными силами F₁ и F₂, и парой сил с моментом М. Определить реакции опор и построить эпюры изгибающих моментов поперечных сил. Данные для своего варианта взять в таблице 1.

Порядок выполнения практической работы :

1. Составить уравнение равновесия;

2. Найти реакции опор;

3. Сделать проверку правильности определения реакций опор;

4. Построить эпюру – Q;

5. Построить эпюру – М;

6. Определить опасное сечение балки по эпюре изгибающих моментов –М;

7. Проверить условие прочности балки;

8. Подобрать сечение балки стальной двутавровой в соответствии с ГОСТ.

Дано: Для двухопорной балки построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М. Подобрать сечение стального двутавра, приняв [δи]=160 МПа.

F₁=24 кН; F₂=36 кН; m₁=18 кНм; m₂=24 кНм; L₁=2,0 м; L₂=3,0 м; L₃=3,0 м.

Рисунок 1- Построение эпюры Q иM.

Решение:

1. Составляем уравнения равновесия плоской системы произвольно расположенных сил, из которых определяем опорные реакции балки:

∑М_А(F_R)= F₁ ∙ 2,0 + m₁ +F₂∙3,0 – m₂-Vв∙6,0 =0 , (1)

∑ Мв(F_R)= F₁∙8,0+m₁+V_А∙6,0- F₂∙3,0-m₂=0, (2)

Из уравнения (2) находим Va:

V_А = (-F₁∙8,0- m₁+F₂∙3,0+ m₂) /6,0=(-192-18+108+24) /6,0= - 13кН,
Из уравнения (1) находим Vв:

V_в=(F₁∙2,0+ m₁+ F₂ ∙3,0- m₂) /6,0=(48+18+108-24) /6,0=150/6=25кН,

Проверяем правильность опорных реакций, составляя сумму проекций всех сил на ось Y:
∑F_RУ= F₁ + V_А - F₂+ Vв=24-13-36+25=49-49=0,
т.е. реакции определены верно.

2. Определяем значение поперечной силы -Q в характерных сечениях балки, которая обозначена цифрами 1,2,3,4 (рисунок-2а).

Q ₁= Q ₂^лев=F₁=24 кН,
Q₂^прав= Q₃^лев = F₁+ V_А =24-13=11 кН,

Q₃^прав= Q₄= F₁ ₊ V_А - F₂= -Vв= - 25 кН.

По найденным значениям строим эпюру поперечных сил -Q (рисунок-1б).

2. Аналогично определяем значения изгибающего момента -М в характерных сечениях балки:

М₁=0;

М₂^лев= F₁∙2,0 = 48 кНм,
М₂^прав=м₂^лев+ m₁ =48+18=66 кНм,

М₃= F₁ ∙5,0+ m₁+ V_А∙3,0=120+18-39=99 кНм,

М₄= m₂=24 кНм.

По найденным значениям строим эпюру изгибающих моментов -М (рисунок-. 1в).

2. По эпюре изгибающих моментов определяем положение опасного сечения балки (сечение, в котором изгибающий момент имеет наибольшее по абсолютной величине значение). В нашем случае - это сечение 3, где

Мз=Мmах=99 кНм.

Из условия прочности балки на изгиб:

δ= М mах <[δи],

Wх

Wх = М mах=99∙10⁶Н∙мм = 0,619∙ 10⁶мм ³=619см³, [δи] 160 Н/мм²

В соответствии с ГОСТ 8239-89 ,

(приложение №1, принимаем сечение балки стальной двутавровой № 33

Wх = 597 см³) .

δ= М mах =99∙10⁶ Н∙мм =165,8 МПа,

Wх 597∙10³Нм3

δ= δ mах -[δи] = 165,8 -160 ∙100= 3.6% <5%,

[δи] 160

что находится в разрешенных пределах (менее 5%).

Ответ: сечение балки - двутавр № 33.

Приложение №1:

Балки двутавровые (по гост 8239-89)

Обозначения: -h- высота балки; b - ширина балки; d - толщина стенки;

t - средняя толщина полки; А - площадь сечения; I - момент инерции;

W - момент сопротивления; i - радиус инерции; S - статический момент полусечения.

Пример решения задачи №2

F₁,=20 кН; F₂ = 30кН; М=10кН∙м; а = 4м; b = 4м; с = 2м;

Рисунок 1- Ход построения эпюр Q и M.

Решение:

∑М_А(F_R)= F₁ ∙ 4,0 -Vв∙8 – m+F₂∙10 =0 , (1)

∑ Мв(F_R) = V_А∙8 - F₁∙4 - m + F₂∙2 =0, (2)

Из уравнения (2) находим Va:

V_в = (F₁∙4- m+F₂∙10) /8=(20∙4-10+30∙10)/8= 46.25кН,

Из уравнения (1) находим Vв:

V_А=(F₁∙4+ m -F₂ ∙2) /8=(20∙4+10-30∙2) /8=30/8= 3.75кН,

Проверяем правильность опорных реакций, составляя сумму проекций всех сил на ось Y:
∑F_RУ= V_А + Vв - F₁ - F₂ =3.75-20+46.25-30 50-50=0,
т.е. реакции определены верно.

Q ₁= Q ₂^лев= V_А =3.75 кН,
Q₂^прав= Q₃^лев = V_А- F₁=3.75-20=-16.25 кН,

Q₃^прав= Q₃^лев ₊ V_в =-16.25+46.25= 30 кН,

Q₄^лев₌ Q₃^прав=30 кН.

По найденным значениям строим эпюру поперечных сил -Q (рисунок-1б).

3. Аналогично определяем значения изгибающего момента -М в характерных сечениях балки:

М₁=0;

М₂= V_А ∙4= 3.75∙4=15 кНм,
М₃^лев= V_А∙8- F₁∙4=3.75∙8-20∙4= -50 кНм,

М₃^прав= М₃^лев– m=-50-10=- 60 кНм,

М₄= 0

По найденным значениям строим эпюру изгибающих моментов -М (рисунок-. 1в).

4. По эпюре изгибающих моментов определяем положение опасного сечения балки (сечение, в котором изгибающий момент имеет наибольшее по абсолютной величине значение). В нашем случае - это сечение 3, где

Мз=Мmах=60 кНм.

Из условия прочности балки на изгиб:

δ= М mах <[δи],

Wх

Wх = М mах=60∙10⁶Н∙мм = 0,375∙ 10⁶мм ³=375см³, [δи] 160 Н/мм²

В соответствии с ГОСТ 8239-89 ,

(приложение №1, принимаем сечение из стального двутавра № 27 Wх = 371 см³)

δ= М mах =60∙10⁶ Н∙мм =161.7 МПа,

Wх 371∙10³Нм3

δ= δ mах -[δи] = 161,7 -160 ∙100= 0.01% <5%,

[δи] 160

что находится в разрешенных пределах (менее 5%).