Тема: Кинематический анализ механизма
Время выполнения работы – 4 часа
Цели:
1. Определение кинематических характеристик звеньев: перемещение; скорость; ускорение; траектория движения; функция положения при известных законах движения входных (ведущих) звеньев.
2. Оценка кинематических условий работы рабочего (выходного) звена.
3. Определение необходимых численных данных для проведения силового, динамического, энергетического и других расчётов механизма.
Исходные данные:
1. Кинематическая схема механизма.
2. Размеры и иные геометрические параметры звеньев (но только такие, которые не изменяются при движении механизма).
3. Законы движения входных звеньев (или параметры движения, например, угловая скорость и угловое ускорение входного звена в выбранном для анализа положении механизма).
Для механизмов, подчиняющихся классификации Л. В. Ассура, порядок кинематического анализа определяется формулой строения: вначале находят параметры движения начальных механизмов и затем – структурных групп в порядке следования их в формуле строения. Здесь следует руководствоваться простым правилом: кинематика любогоэлемента формулы строения может быть изучена только после того, как она изучена для всех предшествующих в этой формуле элементов.
Задачи:
- о положениях звеньев механизма. Определение траекторий движения точек;
- о скоростях звеньев или отдельных точек механизма;
- об ускорениях звеньев или отдельных точек механизма.
|
|
Методы:
- графический (или метод графиков и диаграмм);
- графоаналитический (или метод планов скоростей и ускорений);
- аналитический;
- экспериментальный.
Графический метод кинематического анализа
Преимущество этого метода заключается в наглядности и простоте. Он хорош для кинематического анализа звеньев, совершающих возвратно-поступательное движение. Недостаток метода – невысокая точность, которая зависит от точности графических построений.
Задача о положениях решается построением нескольких совмещённых планов механизма в выбранном масштабе длин при различных последовательных положениях ведущего звена.
Задачи о скоростях и ускорениях решаются построением графиков (диаграмм) перемещений, скоростей и ускорений исследуемой точки.
Последовательность кинематического анализа:
1. Сначала строят несколько (чаще всего 12 и более) совмёщенных планов механизма в произвольно выбранном масштабе длин.
2. Затем строят график пути (перемещения) исследуемой точки или звена, для чего используют совмещённые планы механизма и последовательные положения на них исследуемой точки или звена.
3. Графическим дифференцированием графика перемещений строят график скорости исследуемой точки.
|
|
4. Графическим дифференцированием графика скоростей строят график ускорений.
Графическое дифференцирование можно производить методом хорд и методом касательных. С целью повышения точности удобно использовать оба метода одновременно.
Пример 1.
Даны кривошипно-ползунный механизм, длины звеньев которого – кривошипа и шатуна – LOA и LAB соответственно, и угловая скорость кривошипа .
Определитьскорости и ускорения ползуна при различных положениях кривошипа.
Решение.
Выбираем масштабы длин , м/мм, где AO – длина отрезка, мм, изображающая кривошип длиной LОА на строящемся плане механизма; эта длина выбирается произвольно с учётом того, что совмещённые планы механизма должны разместиться на отведённом месте чертежа, а сам масштаб длин был бы удобен для дальнейших расчётов.
Вычисляем длину отрезка , мм, изображающего шатун на плане механизма. При построении совмещенных планов механизма используют метод засечек(рис. 3.1).
Для построения графиков скоростей и ускорений (рис. 3.1) выбираются полюсные расстояния hu и ha, где hu – полюсное расстояние при построении графика скоростей, которое выбирается произвольной длины; рекомендуется его величину выбирать в пределах hu=30…40 мм; ha – полюсное расстояние при построении графика ускорений; его рекомендуется принимать в пределах ha=30…40 мм.
|
|
Масштабы времени, скорости и ускорения вычисляют по формулам, вывод которых приводится ниже.
Масштаб времениможно вычислить по формуле
,
где Т – период одного оборота кривошипа, с; LX – длина отрезка между точками 1 и 1 на графике (диаграмме) перемещений, мм.
Так как период Т можно вычислить по формулам
, или , с,
где – угловая скорость кривошипа, 1/с; n1 – частота вращения кривошипа, об/мин, то масштаб времени
, с/мм.
Масштаб скорости можно вывести из условия, что скорость исследуемой точки является производной перемещения S по времени:
.
Здесь предполагается, что масштаб перемещений и масштаб времени являются постоянными величинами.
Так как , то , отсюда
, .
Масштаб ускорения, вывод которого аналогичен предыдущему, вычисляется по формуле
, .
Для определения величины скорости или ускорения в каком-либо положении точки В необходимо длину ординаты соответствующего графика умножить на масштаб или соответственно.
Рис. 3.1. Совмещённые планы механизма, графики перемещений, скоростей и ускорений
|
|
Рис.3.2
Модуль скорости точки можно определить по формуле: , а линия действия этого вектора будет перпендикулярная отрезку .
Модуль скорости точки можно определить по формуле: , а линия действия этого вектора будет перпендикулярная отрезку .
Модуль скорости точки можно определить по формуле: , а линия действия этого вектора будет перпендикулярная отрезку .
- мгновенный центр вращения.
Видно, что модули скоростей точек , и пропорциональны длинам отрезков , и , то есть: .
Многоугольник подобен многоугольнику , так как он образован взаимно перпендикулярными и пропорциональными прямыми. Поэтому рис.3.2 представляет собой план скоростей треугольника , то есть треугольник является планом скоростей треугольника .
План скоростей жёсткого звена – геометрическое место точек концов векторов абсолютных скоростей любых точек звена, если они построены из одной общей точки , называемой полюсом плана скоростей.
План скоростей всегда строится в масштабе. В дисциплине «Теория машин и механизмов» масштаб имеет размерность, поэтому его принято называть масштабным коэффициентом: , .
План скоростей подобен самому звену, и повёрнут на девяносто градусов в сторону мгновенного вращения.
Если план скоростей жёсткого звена подобен своему звену, то план скоростей механизма не подобен самому механизму, так как в отличие от жёсткого звена механизм есть изменяемая подвижная система.
План скоростей механизма – совокупность планов скоростей отдельных звеньев, построенных из одной общей точки , называемой полюсом плана скоростей.
Пример 2.
Дано: , и (рис.3.3).
Требуется определить: .
Зададимся неким масштабным коэффициентом .
Рис.3.3
Решение:
Для построения плана скоростей механизма существуют различные методы, наиболее распространённым из которых является метод векторных уравнений, разработанный советскими учёными.
Модуль скорости точки можно определить по следующей формуле: . Линия действия вектора скорости точки перпендикулярна звену , а сам вектор направлен в сторону вращения звена .
Допустим, что точка не закреплена, и представим себе, что все точки звена совершают переносное движение со скоростью , то есть . С одной стороны , с другой стороны .
Вернём точку на действительную траекторию , для чего придадим точке скорость относительного вращательного движения около точки со скоростью относительного движения .
На плане скоростей векторы, исходящие из полюса скоростей являются векторами абсолютных скоростей соответствующих точек, а векторы, которые не проходят через полюс плана ускорений, являются относительных скоростей соответствующих точек. Отрезок является планом скоростей звена , а отрезок является планом скоростей звена .
Рис.3.4
Модуль вектора нормального ускорения точки можно найти по формуле: . Линия действия этого вектора будет перпендикулярна звену .
Модуль вектора тангенциального ускорения точки можно найти по формуле: . Линия действия этого вектора будет параллельна звену .
План ускорений механизма, как и план скоростей, не подобен самому механизму, и является совокупностью планов ускорений отдельных звеньев, построенных из одного полюса плана ускорений .
Пример 3.
Заданы геометрические параметры всех звеньев и угловая скорость , которая является постоянной величиной.
Требуется определить ускорение точки .
Рис.3.5
Решение:
Построение плана скоростей.
Скорости точек и равны нулю, поэтому на плане скоростей точки и совпадают с полюсом плана скоростей (рис.3.6).
Рис.3.6
Модуль скорости точки : . Линия действия вектора скорости точки : перпендикулярно звену .
Зададимся неким масштабным коэффициентом , и построим вектор на плане скоростей.
Скорость точки определяется из решения векторного уравнения , где - скорость точки ; - скорость точки , - скорость звена в его относительном вращении около точки . Вектор известен. Линия действия вектора : перпендикулярно звену . Линия действия вектора : параллельно направляющей .
Скорость точки определяется с помощью теоремы подобия и правила чтения букв. Правило чтения букв заключается в том, что порядок написания букв на плане скоростей или ускорений жёсткого звена должен в точности соответствовать порядку написания букв на самом звене. Из пропорции , можно определить длину отрезка и, построив его на плане скоростей, получить точку . Соединив полюс плана скоростей с точкой получим вектор скорости точки - .
Скорость точки определяется с помощью решения системы геометрических уравнений: , или .
Скорости точек и определяются с помощью теоремы подобия и правила чтения букв: , следовательно, ; , следовательно, , при этом .
Выводы:
1. Как видно из построений, план скоростей механизма не подобен самому механизму.
2. План скоростей даёт возможность найти скорость любой точки любого звена по величине и направлению.
Построение плана ускорений.
Ускорения точек и равны нулю, поэтому соответствующие им точки и на плане ускорений совпадают с полюсом плана ускорений (рис.3.7).
Рис.3.7
Ускорение точки можно найти с помощью решения векторного уравнения , где - ускорение точки , которое равно нулю; - ускорение звена в его относительном движении около точки . Ускорение звена можно представить в виде векторной суммы его нормального и тангенциального ускорений, то есть: . Тангенциальное ускорение звена равно нулю, поскольку его угловая скорость не меняется, поэтому ускорение точки равно нормальному ускорению звена , то есть Модуль нормального ускорения звена : . Линия действия вектора : параллельно звену . Направление вектора : к точке . Задавшись масштабным коэффициентом , строится вектор .
Скорость точки находится с помощью геометрического решения векторного уравнения: , где - ускорение точки ; - ускорение точки ; - нормальное ускорение звена ; - тангенциальное ускорение звена . Направление ускорения точки : параллельно направляющей . Ускорение точки известно. Модуль нормального ускорения звена : ; линия действия вектора : параллельно звену ; направление вектора : к точке . Линия действия вектора тангенциального ускорения звена : перпендикулярно звену .
Ускорение точки находится с помощью теоремы подобия и правила чтения букв: , следовательно, .
Ускорение точки можно найти с помощью решения системы векторных уравнений: или .
Ускорения точек и определяются с помощью теоремы подобия и правила чтения букв: , следовательно, ; , следовательно, .
Планы скоростей и ускорений шарнирного четырёхзвенника. Понятие о теореме подобия для определения скоростей и ускорений.
При решении задач такого типа известны угловая скорость ведущего звена 1 – кривошипа, длины звеньев и координаты неподвижных точек.
Последовательность решения задачи:
1. Строится план механизма (рис. 3.8) в выбранном масштабе длин:
, м/мм,
где LOA – длина кривошипа, м; AO – длина отрезка, изображающего кривошип на плане механизма, мм.
Для построения плана механизма остальные длины звеньев и координаты неподвижных точек шарнирного четырехзвенника (рис. 3.8) переводятся масштабом длин в отрезки:
, мм,
, мм,
, мм.
2. Составляются векторные уравнения линейных скоростей отдельных точек, принадлежащих звеньям механизма.
Векторное уравнение для звена 2 (шатуна)
(1)
где – скорость точки А, которая равна скорости точки А относительно оси вращения кривошипа точки О; – вектор относительной скорости точки В шатуна относительно Аимеет направление, перпендикулярное отрезку АВ на плане механизма.
Векторное уравнение для звена 3 (коромысла)
(2)
Так как точка С (ось вращения коромысла 3) неподвижна, то её скорость равна нулю ( ), а вектор относительной скорости точки В относительно С ( ) имеет направление, перпендикулярное отрезку ВСна плане механизма.
3. Строится план скоростей механизма – это не что иное, как графическое изображение на чертеже векторных уравнений (1) и (2) в каком-либо масштабе.
План скоростей механизма и его свойства
План скоростей желательно строить рядом с планом механизма (рис. 3.8). Предварительно рассчитывается скорость точки А кривошипа:
, м/с.
Затем выбирается масштаб плана скоростей по соотношению
, ,
где – скорость точки А, м/с; PVa – длина отрезка, изображающего на будущем плане скоростей скорость , выбирается произвольной длины в мм; при выборе желательно придерживаться условий: во-первых, план скоростей должен размещаться на отведённом месте чертежа, во-вторых, численное значение масштаба должно быть удобным для расчётов ( должно быть круглым числом).
После этого можно приступать к построению плана скоростей механизма. Его следует проводить в последовательности, соответствующей написанию векторных уравнений (1) и (2).
Сначала проводится из произвольно выбранной рядом с планом механизма точки (полюса плана скоростей) вектор скорости , который перпендикулярен отрезку ОА на плане механизма и имеет длину PVa, выбранную нами при определении масштаба плана скоростей . Затем через точку a проводится линия, перпендикулярная отрезку АВ плана механизма, а через полюс PV – линия, перпендикулярная отрезку ВС.Пересечение этих линий даёт точку b. В соответствии с векторными уравнениями (1) и (2) на построенном плане наносятся направления (стрелки) векторов и .
Определим скорость точки К, принадлежащей шатуну. Для неё можно записать векторные уравнения скоростей:
где вектор скорости перпендикулярен отрезку АК на плане механизма, а вектор – отрезку КВ.
Построением этих векторных уравнений получаем точку k на плане скоростей. При этом из точки a плана скоростей проводим линию, перпендикулярную отрезку АК, а через точку bплана скоростей – линию, перпендикулярную отрезку ВК плана механизма. Величину скорости точки К можно вычислить по формуле
,
где – длина соответствующего вектора на плане скоростей.
Можно заметить, что треугольники на плане скоростей и плане механизма подобны:
,
так как стороны их взаимно перпендикулярны. Это свойство можно использовать для определения скорости любой другой точки, принадлежащей какому-либо звену механизма. Отсюда следует теорема подобия:отрезки относительных скоростей на плане скоростей образуют фигуру, подобную фигуре соответствующего звена на плане механизма.Стороны фигур взаимно перпендикулярны.
Угловые скоростишатуна 2 и коромысла 3 рассчитываются по формулам
, c-1,
, c-1.
Направления угловых скоростей определяются по направлениям векторов и . Для этого вектор условно переносится в точку В плана механизма. Куда он будет вращать шатун 2 относительно точки А, в ту сторону и будет направлена угловая скорость шатуна .
Аналогично поступают со скоростью . В каком направлении будет вращаться коромысло относительно точки С, туда и будет направлена угловая скорость .
План ускорений механизма и его свойства
Последовательность построения плана ускорений рычажного механизма аналогична построению плана скоростей. Рассмотрим её на примере механизма шарнирного четырехзвенника (рис. 3.8). Примем угловую скорость кривошипа постоянной ( , что является наиболее распространённым и рациональным видом движения в реальных механизмах).
Векторное уравнение ускорений для звена 1 (кривошипа)
где нормальная составляющая ускорения точки A относительно O рассчитывается по формуле .
Вектор параллелен отрезку АО на плане механизма. Тангенциальная составляющая ускорения рассчитывается по формуле
.
В нашем случае угловое ускорение кривошипа , тогда .
Векторное уравнение ускорений для звена 2 (шатуна)
где нормальная составляющая ускорения точки В относительно точки А рассчитывается по формуле .
Вектор параллелен отрезку АВ и направлен от В к А, а тангенциальная составляющая перпендикулярна АВ.
Векторное уравнение ускорений для звена 3 (коромысла)
где ускорение точки С ; нормальная составляющая ускорения точки В относительно точки С рассчитывается по формуле .
Вектор направлен параллельно отрезку ВС плана механизма от В к С, а вектор – перпендикулярно ВС.
Выбираем масштаб плана ускорений: , , где pаа’ – длина отрезка, изображающего ускорение на плане ускорений. Его длина выбирается произвольно из расчета, чтобы план ускоренийразместился на отведенном месте чертежа и численное значение было удобным для расчетов ( должно быть круглым числом).
Тогда ускорение будет изображаться на плане ускорений вектором, имеющим длину , мм, а ускорение – вектором длиной , мм.
Затем строится план ускорений (рис. 3.8) с использованием составленных векторных уравнений ускорений. Из произвольно выбранного полюса Ра параллельно отрезку ОА плана механизма проводится вектор ускорения , длина которого Раа′ была выбрана произвольно при расчете масштаба . Из конца этого вектора (точки а′) проводится вектор ускорения длиной а′n2, который должен быть параллелен отрезку АВплана механизма и направлен от точки В к точке А. Перпендикулярно ему через точку n2 проводят прямую. Затем из полюса Ра проводят вектор ускорения длиной Раn3. Перпендикулярно ему через точку n3 проводят прямую до пересечения с прямой, проведенной через точку n2перпендикулярно отрезку АВ. Точка пересечения обозначается буквой b′, которая, будучи соединена с полюсом Ра, образует отрезок Раb′, изображающий вектор полного ускорения точки В.
Используя план ускорений, можно вычислить ускорения
, .
Запишем
,
где и – угловые скорость и ускорение шатуна.
где и не зависят от выбора (расположения) полюса Ра плана ускорений, а отношение масштабов постоянно ( ) для данного плана ускорений. Поэтому для любой точки (например, К, принадлежащей шатуну) можно записать пропорции
.
Отсюда формулируется теорема подобия: отрезки полных относительных ускорений на плане ускорений образуют фигуру, подобную соответствующей фигуре звена на плане механизма.
Величину ускорения точки К можно вычислить по формуле
.
Угловые ускорения звеньев шатуна , c-1, направление определяются по ; угловые ускорения звеньев коромысла , c-1, направление – по .
Так как и направлены в противоположные стороны, вращение шатуна является замедленным.
Использование плана скоростей и плана ускорений для определения радиуса кривизны траектории
Движения точки
Радиус кривизны траектории движения точки (например, точки К) можно вычислить по формуле
,
где – нормальная составляющая ускорения точки К.
Для определения величины (и направления) следует вектор полного ускорения на плане ускорений разложить на нормальную и тангенциальную составляющие, причём перпендикулярна вектору скорости , параллельна последнему. Для этого сначала через полюс плана ускорений Ра проводится прямая, параллельная вектору скорости точки К, а через точку k` – перпендикуляр к этой прямой; на их пересечении получают точку m.
Рис. 3.8. План механизма, скоростей, ускорений
Использование плана скоростей и плана ускорений для определения мгновенного центра скоростей (МЦС)
Планы скоростей и ускорений кривошипно-ползунного механизма
Последовательность построения планов скоростей и ускорений кривошипно-ползунного механизма (рис. 3.10) аналогична той, которая приведена в предыдущем случае. В дальнейшем некоторые подробности (расчёты масштабов, длин , масштабов планов скоростей и ускорений и т.д.) будут пропущены.
Практическая работа №7
Дата добавления: 2019-02-26; просмотров: 757; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!