Нормальный закон распределения

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 11Следующая ⇒

Нормальный закон распределения часто называют законом Гаусса. Этот закон занимает важное место и наиболее часто используется на практике по сравнению с другими законами распределения.

Основная особенность этого закона состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения. В теории надежности его используют для описания постепенных отказов, когда распределение времени безотказной работы в начале имеет низкую плотность, затем максимальную и далее плотность снижается, т.е. нормальным распределением описывают наработки на отказ большинства элементов и систем вследствие их износа и старения (ножи, втулки, фрикционные элементы и др.).

Распределение всегда подчиняется нормальному закону, если на изменение случайной величины оказывают влияние многие, примерно равнозначные факторы.

Нормальный закон распределения описывается плотностью вероятностей:

Где m и σ – параметры распределения, определяемые по результатам испытаний (математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение).

Закон распределения Вейбулла

Среди непрерывных распределений закон распределения Вейбулла занимает одно из наиболее часто применяемых в оценке надежности технических систем по результатам испытаний и эксплуатации. Это распределение Вейбулл использовал при описании разбросов параметров усталостной прочности стали, пределов ее упругости, размеров частиц копоти и др. В настоящее время закон распределения Вейбулла нашел применение при описании надежности сложных технических систем, а также при изучении разбросов в сроках службы изделия различного назначения. Его используют для оценки надежности деталей и соединений машин, в частности автомобилей, а также для оценки надежности машин в процессе их приработки. Такое широкое использование данного закона объясняется тем, что он представляет собой двухпараметрическое распределение.

Плотность распределения описывается зависимостью:

Где a и b – параметры распределения Вейбулла

Закон распределения Пуассона

Биноминальный закон распределения

Дискретные случайные величины и их характеристики. Гистограмма

Критерий согласия Пирсона: его свойства и применение

Критерий согласия Пирсона (χ²) применяют для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения предполагаемому теоретическому распределению F(x) при большом объеме выборки (n ≥ 100). Критерий применим для любых видов функции F(x), даже при неизвестных значениях их параметров, что обычно имеет место при анализе результатов механических испытаний. В этом заключается его универсальность.

Использование критерия χ² предусматривает разбиение размаха варьирования выборки на интервалы и определения числа наблюдений (частоты) n_j для каждого из e интервалов. Для удобства оценок параметров распределения интервалы выбирают одинаковой длины.

Число интервалов зависит от объема выборки. Обычно принимают: при n = 100 e = 10 ÷ 15, при n = 200 e = 15 ÷ 20, при n = 400 e = 25 ÷ 30, при n = 1000 e = 35 ÷ 40.

Интервалы, содержащие менее пяти наблюдений, объединяют с соседними. Однако, если число таких интервалов составляет менее 20 % от их общего количества, допускаются интервалы с частотой n_j ≥ 2.

Статистикой критерия Пирсона служит величина
, (3.91)
где p_j - вероятность попадания изучаемой случайной величины в j-и интервал, вычисляемая в соответствии с гипотетическим законом распределением F(x). При вычислении вероятности p_j нужно иметь в виду, что левая граница первого интервала и правая последнего должны совпадать с границами области возможных значений случайной величины. Например, при нормальном распределении первый интервал простирается до -∞, а последний - до +∞.

Нулевую гипотезу о соответствии выборочного распределения теоретическому закону F(x) проверяют путем сравнения вычисленной по формуле (3.91) величины с критическим значением χ²_α, найденным по табл. VI приложения для уровня значимости α и числа степеней свободы k = e₁ - m - 1. Здесь e₁ - число интервалов после объединения; m - число параметров, оцениваемых по рассматриваемой выборке. Если выполняется неравенство
χ² ≤χ²_α (3.92)
то нулевую гипотезу не отвергают. При несоблюдении указанного неравенства принимают альтернативную гипотезу о принадлежности выборки неизвестному распределению.

Недостатком критерия согласия Пирсона является потеря части первоначальной информации, связанная с необходимостью группировки результатов наблюдений в интервалы и объединения отдельных интервалов с малым числом наблюдений. В связи с этим рекомендуется дополнять проверку соответствия распределений по критерию χ² другими критериями. Особенно это необходимо при сравнительно малом объеме выборки (n ≈ 100).

Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 509; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 6 789 10 11 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!