РЕШЕНИЕ ПРИМЕРНОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задача 1. По каналу связи передаются три сообщения. Вероятность того, что первое сообщение будет искажено равна 0,1, второе – 0,2, третье – 0,3. Найти вероятности следующих событий: 
– все три сообщения переданы без искажения; 
– ровно одно сообщение передано без искажения; 
– хотя бы одно сообщение искажено.
Решение.
Введем в рассмотрение вспомогательные события 
– k-ое сообщение передано без искажений, 
– k-ое сообщение искажено, 
. Согласно условию 
, тогда 
. Аналогично, 
и 
, 
и 
.
Так как событие можно представить в виде 
и события 
независимы, то вероятность события 
можно найти по теореме умножения вероятностей для независимых событий:
.
Событие 
можно представить следующим образом:
,
причем слагаемые 
, 
и 
являются попарно несовместными событиями. Поэтому на основании теоремы сложения вероятностей (1) получаем:
.
Для вычисления вероятностей событий 
, 
и 
используем теорему умножения вероятностей:
;
;
.
Таким образом, окончательно получаем:
.
События 
и 
являются противоположными, следовательно,
.
Ответы: 
, 
, 
.
Задача 2. Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0,4. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют. Составить закон распределения случайной величины 
– числа очков, полученных стрелком за 3 выстрела, построить многоугольник распределения, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
|
|
|
Решение.
Случайная величина 
может принимать 4 значения:
0 – если стрелок промахнулся 3 раза;
5 – если стрелок попал 1 раз при трех выстрелах;
10 – если стрелок попал 2 раза при трех выстрелах;
15 – если стрелок попал 3 раза.
Так как каждый выстрел можно рассматривать, как независимое испытание, в результате которого возможны только два исхода: попадание («успех») или промах («неудача»), то вероятности, соответствующие каждому значению случайной величины, можно найти по формуле Бернулли (5):
.
По условию задачи имеем: число испытаний 
, вероятность успеха 
, 
, значения 
будут изменяться от 0 до 3. Т.о. имеем:
,
,
,
.о
Следовательно, окончательно закон распределения случайной величины 
будет иметь вид:
| 0 | 5 | 10 | 15 |
| 0,216 | 0,432 | 0,288 | 0,064 |
Построим многоугольник распределения. Для этого по оси абсцисс отложим возможные значения случайной величины, а по оси ординат – соответствующие им вероятности и соединяем точки (xi, pi) отрезками прямых. Полученная при этом ломаная линия и есть многоугольникраспределения вероятностей случайной величины 
.
|
|
|
|
| Рис. 1. Многоугольник распределения вероятностей |
Рассчитаем числовые характеристики случайной величины 
.
1. Математическое ожидание вычисляем по формуле (7)
.
2. Дисперсия вычисляется по формуле (9):
.
3. Среднее квадратическое отклонение
.
Ответ. Закон распределения случайной величины 
:
| 0 | 5 | 10 | 15 |
| 0,216 | 0,432 | 0,288 | 0,064 |
многоугольник распределения – на рисунке 1, 
, 
, 
.
Задача 3. Случайная величина 
распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 
и дисперсией 
. Найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале 
.
Решение.
Так как случайная величина имеет нормальное распределение, то вероятность ее попадания в интервал можно найти по формуле (11). Учитывая, что по условию имеем: 
, 
, 
, 
, то получим:
.
По таблице значений функции Лапласа 
находим: F(2)=0,4772, F(1)=0,3413. Значит, получаем: 
.
Ответ:
Задача 4. По выборке из генеральной совокупности нормально распределенного количественного признака X найти: 1) числовые характеристики выборки – выборочную среднюю, выборочную дисперсию, среднее квадратическое отклонение; 2) несмещенные оценки для генеральной средней и генеральной дисперсии; 3) доверительный интервал для оценки генеральной средней с надежностью 
.
|
|
|
| 33,2 | 38,2 | 43,2 | 48,2 | 53,2 |
| 2 | 4 | 10 | 3 | 1 |
Решение.
1. Сначала вычислим числовые характеристики выборки.
Выборочную среднюю найдем по формуле (14).
Учитывая, что объем выборки 
, получаем:
.
Выборочную дисперсию удобнее вычислять по формуле (16):
.
Выборочное СКО:
.
2. Несмещенной оценкой для генеральной средней 
является выборочная средняя 
.
Несмещенной оценкой дисперсии 
генеральной совокупности является исправленная выборочная дисперсия 
, которая вычисляется по формуле (17):
.
3. Так как генеральная дисперсия 
неизвестна, а известна лишь ее оценка – исправленная выборочная дисперсия 
и данная выборка имеет небольшой объем ( 
), то доверительный интервал для генеральной средней можно найти, используя формулы (19) и (21).
Значение 
находим по таблице распределения Стьюдента, где 
– доверительная вероятность, 
– объем выборки, 
- число степеней свободы.
Учитывая, что 
, 
, 
, находим сначала точность оценки по формуле (21):
.
Теперь искомый доверительный интервал определяем по формуле (19):
|
|
|
или 
.
Ответы: 1. , 
, 
; 2. 
, 
; 3. 
.
Задача 5. Массовую долю (%) оксида меди в минерале определили методом иодометрии и методом комплексометрии. По первому методу получили результаты: 38,20; 38,00; 37,66, а по второму: 37,70; 37,65; 37,55. Проверить, различаются ли средние результаты данных методов на уровне значимости 
, если известно, что результаты измерений имеют нормальный закон распределения с неизвестными, но равными дисперсиями.
Решение.
Вычисляем для каждого метода числовые характеристики, учитывая, что объем каждой выборки равен 
:
· выборочные средние значения по формуле (14):
=37,63;
· исправленные выборочные дисперсии по формуле (18):
, 
=0,07453;
=0,00583.
Теперь проверим гипотезу о равенстве средних двух совокупностей.
1. Нулевая гипотеза: 
: 
.
Альтернативная гипотеза: 
: 
2. Уровень значимости 
.
3. Проверку гипотезы будем проводить с помощью 
-критерия, так как выборки маленькие и по условию дисперсии генеральных совокупностей неизвестны, но равны. По таблице значений 
распределения Стьюдента при 
и числе степеней свободы 
находим критическое значение: 
.
4. Рассчитаем эмпирическое значение -критерия, используя формулу (22):
.
Сравним полученное значение с табличным значением 
. Так как 
, то гипотеза принимается.
5. Гипотеза о равенстве средних значений двух методов проверена на уровне значимости с помощью -критерия и принята. Следовательно, результаты обоих методов отражают истинное содержание 
в минерале.
Ответ: гипотеза 
о равенстве средних проверена на уровне значимости 
с помощью -критерия и принята.
Задача 6. Имеются следующие данные об уровне механизации работ 
(%) и производительности труда 
(т/чел.) для 14 однотипных предприятий:
| № п/п | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|
| 30 | 32 | 36 | 40 | 41 | 47 | 54 |
| 24 | 20 | 28 | 30 | 31 | 33 | 37 |
| № п/п | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
|
| 55 | 56 | 60 | 61 | 67 | 69 | 76 |
| 40 | 34 | 38 | 41 | 43 | 45 | 48 |
Требуется: 1) оценить тесноту и направление связи между признаками с помощью коэффициента корреляции и оценить значимость коэффициента корреляции на уровне значимости ; 2) найти уравнение линейной регрессии 
на 
; 3) в одной системе координат построить эмпирическую и теоретическую линии регрессии.
Решение.
1. Для удобства проведем все необходимые предварительные расчеты в таблице.
Таблица 1
Расчетная таблица
| № п/п | 
|
| 
| 
| 
|
| 1 | 30 | 24 | 900 | 576 | 720 |
| 2 | 32 | 20 | 1024 | 400 | 640 |
| 3 | 36 | 28 | 1296 | 784 | 1008 |
| 4 | 40 | 30 | 1600 | 900 | 1200 |
| 5 | 41 | 31 | 1681 | 961 | 1271 |
| 6 | 47 | 33 | 2209 | 1089 | 1551 |
| 7 | 54 | 37 | 2916 | 1369 | 1998 |
| 8 | 55 | 40 | 3025 | 1600 | 2200 |
| 9 | 56 | 34 | 3136 | 1156 | 1904 |
| 10 | 60 | 38 | 3600 | 1444 | 2280 |
| 11 | 61 | 41 | 3721 | 1681 | 2501 |
| 12 | 67 | 43 | 4489 | 1849 | 2881 |
| 13 | 69 | 45 | 4761 | 2025 | 3105 |
| 14 | 76 | 48 | 5776 | 2304 | 3648 |
| Всего | 724 | 492 | 40134 | 18138 | 26907 |
Рассчитаем числовые характеристики выборки, используя итоговую строку расчетной таблицы и учитывая, что объем выборки 
:
· выборочные средние:
;
;
· средние по квадратам:
;
;
· средняя по произведениям:
;
· выборочные средние квадратические отклонения:
; 
;
; 
.
Вычислим выборочный коэффициент корреляции по формуле (26):
.
Т.к. 
и 
, то, следовательно, линейная связь между изучаемыми признаками является прямой и весьма тесной.
Оценим значимость выборочного коэффициента корреляции. Для этого рассчитаем эмпирическое значение -критерия по формуле (26):
.
Для уровня значимости 
и числа степеней свободы 
находим критическое значение -критерия: 
по таблице значений 
распределения Стьюдента. Поскольку 
, то коэффициент корреляции между признаками 
и 
является значимым (или значимо отличается от нуля).
2. Найдем уравнение линейной регрессии 
на 
: 
, вычислив параметры уравнения регрессии по формулам (23) и (24):
;
.
Следовательно, уравнение прямой регрессии имеет вид:
.
3) Построим в одной системе координат эмпирическую и теоретическую линии регрессии. Эмпирическая линия – это ломаная, соединяющая точки с координатами 
, а теоретическая – это график прямой регрессии, уравнение которой было получено в п. 2. Теоретическую линию регрессии можно построить по двум точкам, абсциссы которых выбираются произвольно, а ординаты находятся по построенному уравнению регрессии. Найдем координаты точек для построения теоретической линии регрессии: 
, тогда 
; 
, 
. Значит, теоретическую линию регрессии будем строить по двум точкам с координатами 
и 
.
|
| Рис. 2. Эмпирическая и теоретическая линии регрессии |
Ответ: 1) 
, линейная связь прямая, весьма тесная, коэффициент корреляции значим на уровне значимости ; 2) выборочное уравнение прямой регрессии 
; 3) линии регрессии представлены на рис. 2.
Задача 7. Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно 3. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит: 1) четыре вызова; 2) менее четырех вызовов; 3) не менее четырех вызовов.
Решение.
Случайные события – заказы такси – представляют собой процесс Пуассона 
.
По условию имеем: интенсивность потока – среднее число заказов в единицу времени – 
, промежуток времени 
.
1) Искомая вероятность того, что за минуты поступит ровно 
вызова можно вычислить по формуле (28). Имеем:
.
2) Событие "поступило менее четырех вызовов" произойдет, если за время 
мин. наступит одно из следующих несовместных событий: «поступило три вызова» – 
, «поступило два вызова» – 
, «поступил один вызов» – 
, «не поступило ни одного вызова» – 
. Таким образом, искомую вероятность находим с помощью теоремы сложения вероятностей (1):
3) События "поступило не менее четырех вызовов" и "поступило менее четырех вызовов" противоположны, поэтому искомую вероятность того, что за две минуты поступит не менее 4 вызовов, можно найти по формуле (3):
.
Ответы: 1) 
; 2) 
; 3) 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. для вузов / Н. Ш. Кремер. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 543 с.
2. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике / Д.Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2004. – 256 с. – (Высшее образование).
3. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для вузов / В. Е. Гмурман. – М. : Высш. шк., 1997. – 479 с. : ил.
4. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В. Е. Гмурман. – М. : Высш. шк., 1998. – 400 с. : ил.
5. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 : учеб. пособие для вузов. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М. : Оникс : Мир и образование, 2005. – 416 с.
[1] Понятия “элементарное событие” и “происходит” являются первоначальными неопределяемыми понятиями, подобно геометрическим понятиям “точка” и “лежит”. При общих рассуждениях полезно иметь в виду какой-либо простой конкретный эксперимент типа общепонятного бросания монеты, игральной кости, извлечения карты из колоды и т.п.
[2] Построение интервальных вариационных рядов целесообразно не только при непрерывной вариации признака, но и если дискретная вариация проявляется в широких пределах, т.е. число вариантов дискретного признака достаточно велико.
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 246; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!