СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОННТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 8
Теория вероятностей
Случайные события
В основе теории вероятностей лежит следующая модель: имеется комплекс условий, который можно воспроизводить, хотя бы принципиально, неограниченное число раз. Каждое его воспроизведение называется опытом, испытанием или экспериментом. Предполагается, что в каждом опыте обязательно происходит одно и только одно так называемое элементарное событие (элементарный исход) 
. Все множество элементарных событий, которые могут происходить в результате опыта, называется пространством элементарных событий (исходов) W[1].
Случайное событие – это некоторое множество, состоящее из элементарных исходов 
. При этом исходы 
называются благоприятствующими событию 
. Случайные события, так же как и множества, обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита с индексами или без: 
, 
, 
, 
и т.д.
Говорят, что в результате эксперимента произошло событие 
, если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, благоприятствующих событию А.
Достоверным называется событие, которое всегда происходит в результате рассматриваемого эксперимента. Следовательно, оно включает в себя все элементарные исходы, т.е. достоверным событием является пространство элементарных исходов 
.
Событие называется невозможным, если оно заведомо не может произойти в результате рассматриваемого эксперимента. Значит, невозможное событие не содержит ни одного элементарного исхода, т.е. это событие является пустым множеством и обозначается 
.
|
|
|
Суммой событий 
и 
называется событие 
, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий или , т.е. это событие состоит из элементарных исходов, которые принадлежат либо , либо , либо двум событиям одновременно.
Произведением событий и называется событие 
, состоящее в том, что оба события и произошли одновременно, т.е. это событие состоит из элементарных исходов, принадлежащих и , и .
Два события и называются несовместными, если 
и 
не могут произойти одновременно. Несовместные события не имеют ни одного общего благоприятствующего исхода, следовательно, 
.
Противоположным событию называется событие 
, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие 
. Для противоположных событий одновременно выполняются два условия: их сумма является достоверным событием, т.е. 
, а произведение – невозможным событием, т.е. 
.
Вероятность события
Для количественной оценки возможности появления случайного события 
в рассматриваемом эксперименте вводится специальная числовая функция 
, называемая вероятностью события , которая каждому событию ставит в соответствие число.
|
|
|
Например, вероятность события можно найти, используя классическое определение вероятности: вероятность случайного события равна отношению числа 
элементарных равновозможных исходов, благоприятствующих событию, к числу 
всех возможных элементарных исходов эксперимента, т.е.
.
Заметим, что вероятность достоверного события 
, вероятность невозможного события 
. Кроме того, из определения вероятности следует, что для любого события выполняется неравенство:
.
Вероятности сложных событий
Для вычисления вероятностей сложных событий используются следующие теоремы теории вероятностей.
Теорема сложения вероятностей. Если события и 
несовместны, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей:
. (1)
Сформулированная теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.
Если же события и 
совместны, то
. (2)
Из теоремы сложения вероятностей следует, что если и – противоположные события, то
или 
. (3)
Теорема умножения вероятностей. Если события и независимы (т.е. вероятность одного из событий не зависит от появления или непоявления другого), то вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей:
|
|
|
. (4)
Сформулированная теорема также справедлива для любого конечного числа сомножителей.
Формула Бернулли
Последовательность 
независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие 
(его называют успехом) с вероятностью 
, постоянной при любом испытании, или противоположное ему событие (его называют неудачей) с вероятностью 
, называется схемой Бернулли.
Если производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна 
, то вероятность того, что событие произойдет ровно 
раз определяется формулой Бернулли:
, (5)
где 
– число сочетаний из элементов по 
элементам, которое вычисляется по формуле:
. (6)
Случайные величины
Случайной величиной 
называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных исходов 
, которая каждому элементарному исходу 
ставит в соответствие число 
.
|
|
|
Условимся в дальнейшем, как правило, случайные величины обозначать греческими буквами: 
, 
, …, а принимаемые ими значения – строчными латинскими (с индексами или без): 
, 
и т.д.
Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.
Случайная величина называется дискретной, если значения, которые может принимать данная случайная величина, образуют дискретное (конечное или бесконечное) множество чисел 
, 
, …, 
, …
Под непрерывной случайной величиной будем понимать величину, значения которой, заполняют конечный или бесконечный промежуток числовой оси 
.
Например, число студентов на лекции – дискретная случайная величина, продолжительность лекции – непрерывная.
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 160; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!