От Лапласа к Пуассону – изменение смысла вероятности
Лаплас [Laplace, 1812] дал новое изящное доказательство теоремы Кардано–Бернулли. Еще через 25 лет проблему фундаментально разработал Симон Пуассон [Poisson, 1837]. Он обратился к вероятностям в связи с правовыми задачами. Статистическое понимание вероятности он увязывал не с априорным, а с моральным (со степенью уверенности). Пуассон начал книгу с того, что отделил "абстрактную вероятность", или шанс (chance), от "субъективной, или моральной вероятности", которую далее в основном и рассматривал просто как вероятность (probabilité).
Пуассон был уверен, например, что каждому судье можно приписать вероятность вынесения им правильного приговора. В чисто математическом смысле его занимало обобщение теоремы Кардано–Бернулли на те ситуации, когда вероятность меняется от опыта к опыту (например, от судьи к судье). Ему это удалось (путем введения средней вероятности), и тем самым познавательный статус ТВ очень вырос: теперь стало понятно, почему ее результаты применимы к сложным процессам.
Данное чисто аналитическое достижение Пуассона заслонило от историков тот факт, что столь же сильно изменилось само понимание вероятности: вместо априорной и апостериорной вероятностей, так или иначе измеримых, главным стало внеопытное, так сказать, внутреннее понимание вероятности. Ведь никакие наблюдения или вычисления не помогут нам исчислить, например, вероятность (хотя бы среднюю) вынесения верного приговора, ибо нет критерия верности.
|
|
|
В ТВ является классическим мысленный эксперимент с урной, из которой надо извлекать, не глядя, шары различных окрасок. Вероятность при этом вводится просто: если в урне находятся 30 шаров, 20 из которых – белые, то вероятность извлечь белый шар равна 2/3. (Отсюда и был сделан первый шаг к пониманию вероятности как меры.) Схема опыта настолько проста, что кажется очевидной, хотя в сущности все вопросы, возникающие в отношении полета монеты или кости, попросту упрятаны здесь во тьму урны. Как и все, Бернулли, Лаплас и Пуассон широко пользовались урновой схемой, но смысл извлекали из нее различный. Если Бернулли перечислял равновозможности и, исчерпав их, писал итоговую формулу, то Пуассон как бы извлекал из урны мнения.
Идея равновозможности оказалась весьма продуктивной, так как основанный на ней ЗБЧ в форме Кардано – Бернулли выполняется с достаточной точностью на практике (но не абсолютной – частота к вероятности не сходится). Проведя вычисления, можно оценить, насколько редко возможна серия из 500 бросаний, в которой число гербов не уложится в интервал от 200 до 300. Это, оказывается, приблизительно одна из 100 тысяч серий по 500 бросаний в каждой. Проверить это практически невозможно – если речь идет не о компьютерном эксперименте, а о реальных бросаниях реальной монеты. Поэтому в ЗБЧ приходится верить, и тут становится ясно, зачем Бернулли употребил в своей формулировке слово "вероятнее".
|
|
|
Если теперь обратиться к нынешнему ЗБЧ, т.е., например, к формуле (1), то придется признать, что вероятности р и Р имеют различный познавательный статус: первая – частота, которую можно извлечь из опыта, тогда как вторая – мера уверенности, извлечь которую из опыта нереально. Как же тогда пользоваться подобными формулами? Да очень просто – ими все пользуются только тогда, когда из самого смысла задачи ясно, что степень уверенности высока, т.е. достаточно близка к единице. Но именно при этом ее оценка опытом нереальна [Fine, 1973, c. 88]. По-видимому, это и имел в виду Бернулли, когда вероятности-частоте дал чисто арифметическую формулировку, а вероятности-уверенности – описательную ("вероятнее"). Хотя в схеме Бернулли обе вероятности можно выразить на языке комбинаторики, сам он предпочел этого не делать, ибо видел в теореме больше, чем доказал, – всеобщий закон природы, где вероятность-уверенность понемногу обращается в рок.
|
|
|
Пуассон сделал следующий шаг – предпочел даже вероятность отдельного исхода (в наших терминах: р из (1)) трактовать не как частоту, а тоже как внутренний параметр индивида (уверенность, предрасположенность и т.д.). Возник вековой спор о смысле вероятности, унаследованный через сто лет философией квантовой механики. Не вступая в него, отметим лишь, что следует отличать ЗБЧ в его первичной форме Кардано – Бернулли от того ЗБЧ, который выражается формулой (1) и фигурирует в нынешних книгах. Хотя Пуассон не знал еще подобных обозначений, в сущности идея формулы (1) идет от него: придав вероятности субъективный характер, он открыл математикам путь к формулировкам, определяющим одну вероятность через другую, без попытки объяснить, что же это такое.
Как бы то ни было, ЗБЧ фигурирует в форме (1) и ей подобным; мы будем далее называть эту форму теоремой Бернулли – Пуассона . Пуассону, кстати, принадлежит и сам термин "закон больших чисел".
В литературе две формы ЗБЧ не различают, а зря: в одной массовая случайность выступает как исчерпание равновозможностей, а в другой – как соединение душевных актов (суждений, оценок, надежд). Естественно, различно и их математическое содержание: первая – чисто комбинаторный результат, а вторая определяет связь заданных величин р и Р, смысл которых до сих пор обсуждается. Обе теоремы едины лишь в том, что обходят феномен случайности. Мы будем там, где не сказано иное, иметь в виду ЗБЧ в его исходной форме Кардано – Бернулли.
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 207; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!