Кардано: первые аксиомы и длинный тупик для теории
Как говорилось в главе 2, Кардано первым понял, что надо не только вычислять шансы, но и много раз бросать кости. Именно из этого родилась впоследствии наша идеология – что в играх, кроме комбинаторики, нужна еще и статистика, т.е. подсчет реальных исходов. Символизирует данную идеологию (как увидим, не вполне законно) именно ЗБЧ. Суть его состоит, вольно говоря, в том, что многообразие случайных значений можно при определенных условиях заменить на их среднюю величину.
Кардано не только призывал, он и сам, по всей видимости, многократно бросал кости. Об этом говорят некоторые его замечания – например, что кость, у которой очки обозначены крупными выемками, падает с разными частотами на разные грани [Ore, 1953, c. 191]. Замечание интересно и в том отношении, что непонятно, как такое наблюдение могло быть сделано: строго говоря, из опыта его вывести затруднительно. Вернее всего, Кардано (или его информатор) истолковал какую-то удачную серию (в которой самая легкая грань, шестерка, выпадала чаще) как следствие асимметрии. Это важно как первое свидетельство физического подхода к полету кости.
Зачем математик берется бросать кости? Разве нужно измерять соотношение сторон прямоугольного треугольника? Нет, оно и без того известно из теоремы Пифагора, которая имеет доказательство, вытекающее из аксиом Евклида. Но из каких аксиом выводить ЗБЧ? Речь, разумеется, должна идти не об аксиомах ТВ, которая позволяет "по одним вероятностям вычислять другие", а об аксиомах, связывающих вероятность с частотою. О двух таких аксиомах мы говорили в главе 2 – это аксиома равновозможности исходов и аксиома исчерпания равновозможностей. Там же сказано, что со времен их неявного утверждения в ТВ математика не столько решает проблему случайности, сколько обходит ее.
|
|
|
Так представляется мне историческая линия от Кардано к Колмогорову – линия, безраздельно царящая ныне и в ТВ, и в философском анализе случайности. Там, где две названные аксиомы работают, работает и ТВ, чему посвящена основная часть данной главы. Но как быть с теми реальными явлениями, где они не работают? В рамках ТВ вопрос просто бессмыслен, и это – прямое следствие того исторического выбора, который сделал Кардано, когда отверг решение Пачоли задачи о разделе ставки: именно тогда идея предпочтения уступила идее симметрии. Путем Кардано – Колмогорова пройти было необходимо, и он привел к блестящим успехам, но, на мой взгляд, он на сегодня исчерпан и является тупиком. Почему, будет ясно в части 2.
Якоб Бернулли: симметрия множества случайных событий
Итак, ЗБЧ нельзя доказать, не договорившись о каких-то аксиомах. Первой такой аксиомой явилась, как сказано выше, аксиома равновозможности. Безразлично, ставить ли на герб или на цифру, на туз или на валета и т.д. – справедливость гарантирована равновозможностью вариантов. Поскольку аксиома доказательства иметь не может, неизбежны споры о ее истинности и сущности.
|
|
|
В случае монеты одни уверены, что равновозможность вытекает из ее симметрии, другие, что она основана на отсутствии информации о предпочтительной стороне падения, третьи, что на многовековом опыте. Каждый имеет свой резон, однако достаточно вспомнить l'ordre de ressemblance Ламберта (см. Введение), чтобы понять, что вопрос гораздо глубже: по-моему, равновозможность – такое же свойство природы, как принцип наименьшего действия в физике или иррациональность в математике. Остается поаккуратнее описать его и очертить область истинности.
Первое, на что люди обратили внимание, – статистика благоприятных исходов вполне работает не только в азартных играх, где равновозможность налицо, но и во многих массовых процессах, в которых никакой равновозможности не видно. Прежде всего это стало ясно из статистики населения, начавшейся, как мы видели в главе 2, с работы Граунта, затем Гюйгенс явным образом увязал это с игровыми задачами.
|
|
|
Следующий шаг в этой увязке сделал Лейбниц, введя, как мы видели в главе 2, свою аксиому aequalibus aequalia – равно принимать в расчет равноценные предположения. Однако главного успеха добился Я. Бернулли. Сперва он уточнил Лейбница, прямо сформулировав: "Я предполагаю, что все случаи одинаково возможны... Иначе необходимо уравнять их и вместо каждого легче встречающегося случая считать столько других, насколько он легче имеет место, чем прочие". В этом уравнивании, редко упоминаемом, и состоит суть дела.
Бернулли полагал, что такую процедуру можно провести всегда, для любых случайностей [Бернулли, 1986, c. 34]. А затем, пользуясь столь широко понимаемой равновозможностью, доказал свою знаменитую теорему – первый вариант ЗБЧ. Ею мы займемся в п. 3, а здесь наша тема – сама равновозможность. Схему, которую анализировал Бернулли и для которой доказал теорему, можно представить так.
Даны N одинаковых симметричных t-гранных игральных костей, грани которых занумерованы (от 1 до t на каждой кости). Разложим их в ряд и отметим, на какой грани лежит каждая. Различных рядов (способов раскладки) костей будет tN Закрасим на каждой кости r граней – число способов раскладки не изменится, но теперь про каждую кость можно еще вдобавок отметить, лежит ли она на закрашенной или незакрашенной грани. Бернулли вычислил долю костей, лежащих на закрашенных гранях, и нашел, что она с ростом N приближается к r/t – в этом и состоит смысл его главной теоремы. Ни о какой случайности, как видим, тут речи нет – одни раскладки, одна комбинаторика.
|
|
|
Зато Бернулли первый фактически провозгласил три важных тезиса. Во-первых, соответствие игровых и неигровых задач может быть не просто отмечено, но и измерено, притом тем точнее, чем больше опытов поставлено. Во-вторых, в игровых задачах измерение можно успешно произвести, игнорировав случайность, т.е. саму процедуру игры (положив, вместо игры, что каждый мыслимый исход реализуется ровно один раз). И в-третьих, неигровые задачи допускают принципиально такое же измерение, если положить, что и в них тоже действует принцип равновозможности.
Последнее означает: если монета симметрична, то она – как двугранная кость (точнее, у нее r = t/2), если же она несимметрична, ее следует рассматривать как симметричную t-гранную кость, у которой r близко к t/2. Тем самым, равновозможность работает в очень широких пределах, она – не редкий частный случай, а единица измерения, нечто вроде наибольшего общего делителя.
Подход Бернулли замечателен тем, что тут вовсе не нужно знать реально эти равновозможности: достаточно, чтобы сама идея равновозможности была в принципе допустима, чтобы исследуемое событие можно было в принципе рассматривать как бросание симметричной кости, пусть с очень большим (но ограниченным) числом граней и с произвольной закраской граней. Так, выбор пола ребенка при зачатии можно представить как бросание 27-гранной кости, на которой 14 граней соответствуют мальчику, a 13 – девочке (или, кому так понятнее: извлекается один билет из урны, где 14 билетов имеют надпись "мальчик", а 13 – "девочка"). Это совсем не то, что принято писать о равновозможности в начале учебников ТВ.
Следуя идеологии Бернулли, надо полагать в качестве "аксиомы вероятности" не саму устойчивость частот, а более общее свойство случайного явления (или, если угодно, системы, порождающей случайность). Это свойство выступает у Бернулли как равновозможность воображаемых элементарных исходов; именно из них составляются серии, каждая из которых берется ровно один раз, т.е. введена еще и аксиома исчерпания равновозможностей. А с более общей точки зрения речь здесь идет о симметрии и измеримости.
3-3. В чем смысл "золотой теоремы"
ЗБЧ имеет множество формулировок. Без понимания сути и пределов его выполнимости нельзя понять, что такое вероятность. Это не раз отмечалось, но понимание от этого ничуть не продвинулось. На мой взгляд, главная причина неуспеха в том, что за почти три века своего существования ЗБЧ несколько раз менял и форму, и содержание, так что анализ его без обращения к истории невозможен. И хотя добротные исторические труды о рождении ТВ существуют, но в одном пункте анализа по-существу в них дано не было, и исследователи вязнут в неадэкватном употреблении понятий. Этот пункт – суть той теоремы, которую сформулировал и доказал Якоб Бернулли и которая совсем непохожа на "теорему Бернулли" из учебников.
В истории математики мало утверждений, о которых высказано столько противоречивых суждений, как эта теорема Бернулли. Одни называли ее "золотой теоремой" [David, 1962], другие – занимательной задачей комбинаторики с довольно бедным содержанием [Кац, 1963, c. 32]; одни считали ее точной и строгой, другие видели в основе ее порочный круг; одни приписывали ей главную роль в приложениях, другие говорили, что это самообман; одни видели в ней только априорную вероятность, другие – только статистическую. (Литературу см. [Чайковский, 1989].)
Причина разнобоя, на мой взгляд, в том, что одни видели в ней раскрытие природы случайности, тогда как другие не видели. Только в одном все дружно сходятся – что теорема Бернулли описывает результат серии независимых друг от друга опытов. Соответственно, нынешняя формулировка теоремы такова: если вероятность наступления события А в последовательности независимых испытаний постоянна и равна р, то при достаточно большом числе n испытаний число m наступлений А будет почти наверняка сколь угодно близко к р; или, с помощью формулы: если n стремится к бесконечности, то для любого сколь угодно малого e>0
Р{|(m/n) – p|< e } ® 1. (1)
Однако вот какую формулировку дал сам Бернулли: <<Пусть число благоприятных случаев относится к числу неблагоприятных точно или приближенно как r к s , или к числу всех случаев – как r к r+s или r к t, каковое отношение заключается в пределах (r+1)/t и (r–1)/t. Tребуется доказать, что можно взять столько опытов, чтобы в какое угодно данное число раз (c раз) было вероятнее, что число благоприятных наблюдений попадет в эти пределы, а не вне их>> [Бернулли, 1986, c. 56].
Как видим, никаких "независимых испытаний" здесь нет. Более того, в отличие от позднейших формулировок, здесь только однажды упоминается вероятность – в слове "вероятнее". Никакого определения одной вероятности (р) через другую (Р), вроде присутствующего в формуле (1), здесь тоже нет. Наконец, если бы не слово "вероятнее", то сама теорема имела бы чисто комбинаторную формулировку, и даже от этого слова вполне можно избавиться, поскольку оно не использовано при доказательстве.
Доказательство Бернулли, хоть и длинное, в сущности просто. Сперва проведено рассуждение об уравнивании неравновозможных событий, которое мы обсудили (в терминах кости с закрашенными и незакрашенными гранями) выше, в п. 2. Затем величина tN записывается в виде (r+s)N, где s=t–r есть число незакрашенных граней, и раскладывается на слагаемые по формуле
(r+s)N = rN + NrN—1s + ... + 
rN—ksk + ... + NrsN—1 + sN , (2)
известной в наше время как бином Ньютона. В этой формуле в правой части первый член означает количество раскладок, в которых все кости лежат на закрашенных гранях; k-й означает число раскладок, в которык ровно k костей лежат на незакрашенных гранях, а последнее слагаемое – число раскладок, где все кости лежат на незакрашенных гранях.
Суть доказательства в том, что в этой сумме отыскивается самое большое слагаемое – естественно, оно соответствует тем раскладкам, где ровно rN/t костей лежат на закрашенных гранях; далее выясняется, что при достаточно большом N почти вся сумма приходится на те несколько центральных слагаемых, которые означают типичные раскладки (в которых ровно или почти rN/t костей лежат на закрашенных гранях). Другими словами, доля закрашенных оснований близка к r/t почти во всех мыслимых раскладках.
Историк Лорейн Дастон верно отметил: "Теорема Бернулли является первой математической попыткой выразить отношение вероятностей к наблюдаемым частотам событий, которые нельзя уверенно положить равновозможными" [Daston, 1988, c. 231]. Однако не стал объяснять, в чем состояла попытка, предпочтя, как и все, исследовать теорему "в нынешних понятиях", т.е. стал комментировать формулу (1). Среди новых книг изложение теоремы самого Бернулли и ее доказательства я нашел только у Хальда, но и он уверен: "Теорема предполагает, что p известно" [Hald, 1990, c. 263]; на самом деле в ней фигурируют текущие доли, а не вероятности. Один лишь Марк Кац, математик и методолог, увидел у Бернулли то, что есть – "занимательную задачу комбинаторики". Это в чисто математическом плане соответствует истине, однако сам Бернулли видел в теореме гораздо больше, чем доказал.
В п. 2 схема Бернулли изложена в терминах раскладки множества костей. Сам ли Бернулли придумал данную модель целиком или в чем-то заимствовал ее? Здесь могу только напомнить, что Гюйгенс, описывая дожитие до определенного возраста как лотерею (см. гл. 2), фактически рассуждал о том же: ведь 40 переживших и 15 умерших тоже могут быть представлены как грани 55-гранной симметричной кости.
Бернулли доказал, как видим, всего лишь некоторое интересное свойство бинома Ньютона, не имеющее само по себе никакого отношения к случайности. Но больше у Бернулли ничего по теме ЗБЧ нет, остальное уже относится к интерпретациям. Первую интерпретацию дал сам Бернулли, и ее часто цитируют: "... Если бы наблюдения над всеми событиями продолжать всю вечность (при чем вероятность, наконец, перешла бы в полную достоверность), то было бы замечено, что все в мире управляется точными отношениями и постоянным законом изменений, так что даже в вещах, в высшей степени случайных, мы принуждены были бы признать как бы некоторую необходимость, и, скажу я, рок" [Бернулли, 1986, с. 59]. Другими словами, автор видел в своей арифметической теореме некоторый всеобъемлющий закон природы. Почему?
Потому, видимо, что свой арифметический результат он понимал на языке равных возможностей: если все раскладки равноправны, то любая из них должна встречаться одинаково часто. Бросив N костей на стол как попало, мы обязательно получим одну из раскладок, получающихся при методическом раскладывании. Так не надо их бросать, надо подсчитывать раскладки. Если все раскладки равновозможны, мы ожидаем встретить их одинаково часто – вот Бернулли и взял их в своем доказательстве ровно по одному разу. Арифметический смысл налицо, но случайностный утерян.
Было бы наивно думать, что великий Бернулли сделал это по недомыслию – приведенная выше цитата довольно ясно говорит, что случайности как таковой в его мировоззрении просто не было места. Таково было детерминистическое миропонимание, свойственное его эпохе. И все-таки, сделанное им для ТВ столь велико, что Колмогоров именно его считал ее основателем [Бернулли, 1986, c. 4]. Добавлю: призыв "уравнять" исходы, которые не обладают сами по себе равновозможностью, уточнял Лейбница и явился тем философским шагом, который ввел ТВ в мир природных и социальных явлений. (Если Гюйгенс вывел ее за тесные рамки игорного дома, то Бернулли провозгласил весь мир игорным домом.)
Мысль эта была затем утеряна наукой. Мне известна всего одна заметка на эту тему: "Научное значение и перспективы идеи равновозможности" (1944 г.), ждавшая публикации полвека. В ней А.Я. Хинчин, один из классиков ТВ, критикуя Мизеса, заметил, что тот был неправ, отвергая идею равновозможности как возможную основу для определения вероятности. Мизес указывал, что кость может быть несимметричной, но все-таки каждая грань будет обладать определенной вероятностью выпадения; а Хинчин возражал: идею равновозможности можно модифицировать – по-видимому, можно доказать, что вероятность выпадения каждой грани несимметричной кости может быть вычислена, исходя из распределения масс в материале кости [Хинчин, 1995, c. 547-550]. Это верно, однако идея Бернулли гораздо более обща.
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 211; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!