ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ К ЗАДАННОМУ ЦЕНТРУ
Лемма о параллельном переносе силы
Лемма. Силу можно переносить параллельно самой себе в любую наперед заданную точку, называемую центром приведения, присоединив к ней при этом пару, момент которой равен моменту первоначальной силы относительно центра приведения.
Доказательство.
Пусть сила 
приложена в точке 
. Перенесем её в заданную точку 
(рис. 40). Для этого в точке 
приложим силы 
и 
такие, что 
, 
.
Тогда 
. Момент пары равен:
,
так как 
– линия действия силы 
проходит через точку 
.
Теорема Пуансо (о приведении системы сил к заданному центру)
Теорема. Любая система сил эквивалентна системе, состоящей из силы и пары сил. Сила приложена в любой наперед заданной точке (центре приведения) и геометрически равна главному вектору системы сил. Момент пары равен главному моменту исходной системы сил относительно центра приведения.
Доказательство.
 |
Пусть точка
– центр приведения (полюс приведения). Приведем исходную систему сил 
к центру 
, пользуясь леммой о параллельном переносе силы.
Вначале приведем силу 
к заданному центру (рис. 41), которая будет эквивалентна силе 
и паре 
:
, 
.
 |
Аналогично поступим с остальными силами исходной системы
(рис. 42).
Получим, что система 
~ 
и парам 
, 
,…, 
. Силы 
приложены в точке 
(сходящиеся силы) и могут быть заменены одной силой, приложенной в точке 
и геометрически равной главному вектору
|
|
|
.
Система пар 
, 
,…, по теореме о "сложении" пар эквивалентна одной паре 
, момент которой равен сумме моментов всех пар системы, которая в свою очередь равна главному моменту исходной системы сил относительно центра приведения
.
Теорема доказана.
Частные случаи приведения системы сил к заданному центру
Пусть в результате приведения системы сил к заданному центру получилось:
1. 
, 
— система находится в равновесии; можно сказать, что она приводится к прямо противоположным силам.
2. 
, 
— сила отсутствует, система приводится к паре сил. Выбор полюса приведения не влияет на момент пары сил.
3. 
, 
— система приводится к одной силе – равнодействующей.
4. 
, 
, 
Через точку проведем плоскость, перпендикулярную вектору момента 
(рис. 43). Приведем систему сил к силе 
и паре сил 
, – центр приведения. Сила 
лежит в проведенной плоскости, приложена в центре приведения 
и равна главному вектору: 
. Пара сил 
с моментом 
также лежит в проведенной плоскости. Одну из сил пары выберем равной и прямо противоположной силе 
: 
. Другую силу пары 
( 
) проводим так, чтобы момент пары был равен главному моменту системы сил, то есть 
.
|
|
|
Полученная система сил 
эквивалентна одной силе 
, так как применяя элементарную операцию, прямо противоположные силы 
и 
можно отбросить. Система сил приводится к равнодействующей.
Общий признак существования равнодействующей
Объединяя частные случаи 2 и 4 можно установить общий признак существования равнодействующей.
Система сил приводится к равнодействующей, если главный вектор не равен нулю, а скалярное произведение главного вектора на главный момент равно нулю:
, 
.
Действительно, 
(при 
), если 
или 
, то есть 
.
5. 
, 
, // 
.
Плоскость пары перпендикулярна векторам силы 
и момента 
. Таким образом, система эквивалентна силе 
и паре 
, плоскость которой перпендикулярна силе (рис. 44)
Определение. Совокупность силы и пары сил, которая лежит в плоскости, перпендикулярной этой силе называют динамическим винтом или динамой.
6.
 |
, 
, 
(рис. 45а).
Разложим вектор момента 
на две составляющие: 
// 
, 
(рис 45б). Через точку 
проведем плоскость, перпендикулярную вектору 
и построим пару 
такую, что 
, 
, а момент пары 
(рис. 45в). Таким образом, сила 
и пара сил с моментом 
эквивалентны силе 
, приложенной в точек 
, на расстоянии:
|
|
|
.
Следовательно, исходная система сил эквивалентна силе и паре сил с моментом 
, причем векторы 
и параллельны. Система приводится к динаме.
Общий признак приведения системы сил к динаме
Объединяя случаи 5 и 6, получим:
Система сил эквивалентна динаме, если скалярное произведение её главного вектора на главный момент не равно нулю:
.
Теорема Пуансо и частные случаи из нее позволяют привести заданную систему сил к простейшему виду.
Простейшие виды системы сил Условия приведения
1. Прямопротивоположные силы 
.
2. Пара сил 
.
3. Одна сила (равнодействующая) 
.
4. Динама 
.
Инварианты системы сил
Определение. Инвариантами системы сил называются величины, не зависящие от выбора центра приведения, то есть величины, которые остаются неизменными при преобразовании данной системы сил в другую, ей эквивалентную.
1-й инвариант – главный вектор системы сил 
.
2-й инвариант – скалярное произведение главного вектора на главный момент 
|
|
|
Доказательство.
Пусть известно скалярное произведение 
для системы сил, приведенной к полюсу . Вычислим то же произведение 
для системы сил, приведенной к другому полюсу . Главный вектор не зависит от выбора полюса; для нового центра приведения главный момент будет иным:
(по теореме о зависимости между главными моментами системы сил относительно двух полюсов).
Тогда:
,
так как по правилам вычисления смешанного произведения
( векторное произведение параллельных векторов равно нулю).
Таким образом 
.
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 433; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!