Теорема Вариньона (частный случай)
Теорема. Если две силы и их геометрическая сумма приложены в одной точке, то геометрическая сумма моментов этих двух сил относительно произвольного полюса равна моменту их геометрической суммы относительно того же полюса.
Дано: 
(рис. 25).
Доказать: 
.
Доказательство:
Исходя из представления момента силы относительно полюса через векторное произведение:
, 
.
Тогда
.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ СТАТИКИ. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ СИЛ
Элементарные операции статики
Пусть к твердому телу приложена система сил 
. Элементарными операциями статики называют следующие четыре операции над силами:
1. Добавление к системе сил 
двух прямопротивоположных сил.
2. Отбрасывание от системы сил двух прямопротивоположных сил (если таковые имеются).
3. Замена двух сил (в системе ), приложенных к одной точке (если таковые имеются) одной силой, равной их геометрической сумме и приложенной к этой же точке ( коротко: замена двух сил, приложенных к одной точке, одной силой по правилу параллелограмма).
4. Замена любой силы системы двумя составляющими силами, полученными путем разложения этой силы по правилу параллелограмма.
Первое свойство элементарных операций (физическое свойство).
Элементарные операции над силами, приложенными к твердому телу, не нарушают состояние равновесия тела.
Справедливость этого свойства следует из 2-й и 3-й аксиом статики.
|
|
|
Второе свойство элементарных операций (геометрическое свойство)
Элементарные операции над силами не изменяют главный вектор и главный момент системы сил.
Неизменность главного вектора проверяется непосредственно путем анализа влияния каждой элементарной операции на геометрическую сумму векторов сил системы.
Добавление либо отбрасывание двух прямопротивоположных сил не изменяет главный момент системы сил относительно полюса потому, что сумма моментов двух прямопротивоположных сил относительно одного и того же полюса равна нулю.
Замена по правилу параллелограмма двух сил, приложенных к одной точке, их геометрической суммой, либо замена одной силы ее двумя составляющими, не изменяют главный момент системы сил вокруг полюса по теореме Вариньона (частный случай).
Эквивалентные преобразования. Эквивалентные системы сил. Равнодействующая
Всякую систему сил стремятся, не нарушая состояния тела, упростить. Упрощение системы сил проводится в двух направлениях:
– в смысле изменения количества сил;
– в смысле изменения взаимного расположения сил.
Пусть к некоторому телу приложена система сил .
|
|
|
Определение. Последовательное применение элементарных операций статики к системе сил называется эквивалентным преобразованием этой системы.
Примеры эквивалентных преобразований:
– перенос силы по ее линии действия;
– замена сходящейся системы сил одной силой, приложенной в точкесхода и изображаемой главным вектором этой системы сил.
Определение. Две системы сил называются эквивалентными (статически равносильными), если от одной к другой можно перейти с помощью элементарных операций, то есть при помощи эквивалентного преобразования.
Обозначать эквивалентность будем следующим образом:
,
или короче 
.
Свойства эквивалентности:
– если 
, то 
( для первой элементарной операции есть обратная – вторая, а для третьей – четвертая;
– если и 
, то 
.
Определение. Если система сил эквивалентна одной силе 
, то эта одна сила называется равнодействующей данной системы сил.
Покажем, что равнодействующая по величине и направлению измеряется главным вектором системы сил. Пусть 
, – равнодействующая. В силу второго свойства элементарных операций главные векторы систем сил 
и 
равны: 
. Но 
, следовательно, 
, то есть равнодействующая параллельна главному вектору, имеет то же направление и величину.
|
|
|
Однако равнодействующая и главный вектор понятия различные, их не следует смешивать. Главный вектор – математическое понятие, а равнодействующая – физическое. Главный вектор – это свободный вектор, а равнодействующая – скользящий; равнодействующая – это сила, связанная со своей линией действия. Главный вектор можно построить всегда (он существует у всякой системы сил), а равнодействующая не всегда существует (не всегда существует одна сила, эквивалентная данной системе сил). Особенно отчетливо сказывается разница между понятиями главного вектора и равнодействующей системы сил, когда система сил приложена к разным телам. В этом случае понятие равнодействующей не имеет никакого определенного смысла, а главный вектор такой системы можно построить.
Обобщенная теорема Вариньона
Теорема. Если система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно некоторого полюса равен геометрической сумме моментов всех сил системы относительно того же полюса.
Дано: 
.
Требуется доказать, что: 
.
Доказательство. В силу второго свойства элементарных операций главные моменты 
и 
равны:
|
|
|
,
или 
.
Теорема Вариньона, доказанная для момента равнодействующей относительно полюса, остается справедливой и для момента равнодействующей относительно оси.
Теорема. Если система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно некоторой оси равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно той же оси.
Доказательство:
Пусть 
. Тогда:
.
Спроектируем это векторное равенство на ось 
, проходящую через полюс:
.
В силу теоремы о связи между моментом силы относительно полюса и моментом силы относительно оси:
.
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 306; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!