УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ В ОБЩЕМ И ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯХ
Основная лемма статики
Леммой называют теорему, необходимую только для доказательства другой теоремы.
Лемма. Любая система сил эквивалентна системе из двух сил, то есть любая система сил с помощью элементарных операций может быть приведена к двум силам.
Доказательство.
Предварительно докажем лемму для трех сил , , .
Проведем две плоскости (рис. 26); одну через силу и точку , вторую через силу и ту же точку .
Эти плоскости, имея общую точку , имеют общую прямую. На этой прямой выберем произвольную точку и соединим точки и прямыми с точками и , в которых приложены силы и . Разложим силы и на составляющие по проведенным направлениям: ,
. Перенесем силы и по их линиям действия в точку , а силы и в точку (рис. 27). В результате получим две системы сходящихся сил:{ } и { .
Заменяем силы и , приложенные в точке , их геометрической суммой , приложенной в той же точке: , а силы , приложенные в точке – силой , приложенной так же в точке . В результате применения только элементарных операций система сил { } приведена к двум силам { }. Итак, заданная система сил { } эквивалентна двум силам { }:
{ }~{ },
что и требовалось доказать.
Если задана система, состоящая из сил, то тогда, последовательно заменяя каждые три силы двумя, уменьшаем число сил системы. Процесс заканчивается, когда остается только три силы.
|
|
{ } — сил
{ } —сил
{ } —сил
…… …
{ } —силы
Основная теорема статики (общие условия равновесия системы сил)
Теорема. Для того, чтобы тело под действием системы произвольно расположенных сил находилось в равновесии необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент относительно некоторого полюса этой системы сил были равны нулю.
Доказательство.
Необходимость.
Дано: система сил – в равновесии.
Требуется доказать: , .
На основании основной леммы статики система с помощью элементарных операций может быть приведена к двум силам, то есть
.
Так как и при этом тело под действием системы сил находится в равновесии, то в соответствии с физическим свойством элементарных операций оно будет находиться в равновесии и под действием системы сил . Итак тело находится в равновесии под действием двух сил и . По первой аксиоме статики эти силы прямопротивоположные. Значит главный вектор системы : . Главный момент этой системы сил, то есть геометрическая сумма двух прямопротивоположных сил относительно одного и того же полюса:
|
|
.
Так как главный вектор и главный момент системы равны главному вектору и главному моменту системы – геометрическое свойство элементарных операций, то
, ,
то есть главный вектор и главный момент относительно произвольного полюса первоначальной системы равны нулю.
Достаточность.
Дано: система сил , главный вектор и главный момент которой: ; .
Доказать: тело под действием системы сил находится в равновесии.
На основании основной леммы статики систему с помощью элементарных операций можно привести к двум силам, то есть
.
У этих систем сил равны главные векторы и главные моменты относительно некоторого полюса , – геометрическое свойство элементарных операций. Тогда , . Иными словами:
; . Из того, что главный вектор равен нулю, следует, что эти две силы и либо прямопротивоположные, либо образуют пару. Так как главный момент пары от полюса не зависит и отличен от нуля, то случай пары исключается, Поэтому силы и прямопротивоположные и, следовательно, по первой аксиоме статики, тело под действием системы сил находится в равновесии. Под действием первоначальной системы сил тело также находится в равновесии, так как элементарные операции не нарушают состояние равновесия тела.
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 270; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!