УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ В ОБЩЕМ И ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯХ



Основная лемма статики

     Леммой называют теорему, необходимую только для доказательства другой теоремы.

Лемма.                      Любая система сил эквивалентна системе из двух сил, то есть любая система сил с помощью элементарных операций может быть приведена к двум силам.

Доказательство.

 

     Предварительно докажем лемму для трех сил , , .

     Проведем две плоскости (рис. 26); одну через силу  и точку , вторую через силу  и ту же точку .

     Эти плоскости, имея общую точку , имеют общую прямую. На этой прямой выберем произвольную точку  и соединим точки  и  прямыми с точками  и , в которых приложены силы  и . Разложим силы  и  на составляющие по проведенным направлениям: ,

. Перенесем силы  и  по их линиям действия в точку , а силы  и  в точку  (рис. 27). В результате получим две системы сходящихся сил:{ } и { .

 

Заменяем силы  и , приложенные в точке , их геометрической суммой , приложенной в той же точке: , а силы , приложенные в точке  – силой , приложенной так же в точке . В результате применения только элементарных операций система сил { } приведена к двум силам { }. Итак, заданная система сил { } эквивалентна двум силам { }:

                                 { }~{ },

что и требовалось доказать.

     Если задана система, состоящая из  сил, то тогда, последовательно заменяя каждые три силы двумя, уменьшаем число сил системы. Процесс заканчивается, когда остается только три силы.

{ }                          — сил

{ }                    —сил

{ }                   —сил

     ……                                             …

{ }                                           —силы

Основная теорема статики (общие условия равновесия системы сил)

Теорема.                  Для того, чтобы тело под действием системы произвольно расположенных сил находилось в равновесии необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент относительно некоторого полюса этой системы сил были равны нулю.

Доказательство.

Необходимость.

Дано: система сил  – в равновесии.

Требуется доказать: , .

     На основании основной леммы статики система  с помощью элементарных операций может быть приведена к двум силам, то есть

.

     Так как  и при этом тело под действием системы сил  находится в равновесии, то в соответствии с физическим свойством элементарных операций оно будет находиться в равновесии и под действием системы сил . Итак тело находится в равновесии под действием двух сил  и . По первой аксиоме статики эти силы прямопротивоположные. Значит главный вектор системы : . Главный момент этой системы сил, то есть геометрическая сумма двух прямопротивоположных сил относительно одного и того же полюса:

.

     Так как главный вектор и главный момент системы  равны главному вектору и главному моменту системы  – геометрическое свойство элементарных операций, то

,   ,

то есть главный вектор и главный момент относительно произвольного полюса первоначальной системы  равны нулю.

Достаточность.

Дано: система сил , главный вектор и главный момент которой: ; .

Доказать: тело под действием системы сил  находится в равновесии.

     На основании основной леммы статики систему  с помощью элементарных операций можно привести к двум силам, то есть

.

У этих систем сил равны главные векторы и главные моменты относительно некоторого полюса ,  – геометрическое свойство элементарных операций. Тогда , . Иными словами:

; . Из того, что главный вектор равен нулю, следует, что эти две силы  и  либо прямопротивоположные, либо образуют пару. Так как главный момент пары от полюса не зависит и отличен от нуля, то случай пары исключается, Поэтому силы  и  прямопротивоположные и, следовательно, по первой аксиоме статики, тело под действием системы сил  находится в равновесии. Под действием первоначальной системы сил  тело также находится в равновесии, так как элементарные операции не нарушают состояние равновесия тела.


Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 270; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!