Центры тяжести симметричных тел

Лемма.            Если точки приложения параллельных сил расположены в одной плоскости, или лежат на одной прямой, то центр этой системы параллельных сил лежит в этой плоскости или лежит на этой прямой.

Доказательство.

1. Пусть точки приложения системы параллельных сил принадлежат плоскости  (рис. 50), которую совместим с координатной плоскостью .

 

Тогда  ( ). Следовательно, координата центра параллельных

сил

,

то есть центр системы параллельных сил принадлежит плоскости

2. Пусть точка приложения параллельных сил лежит на прямой  (рис. 51)

Тогда ,  ( ). Вследствие этого , . Итак, точка  лежит на прямой .

Теорема.         Если тело имеет плоскость материальной симметрии, либо ось материальной симметрии, либо центр материальной симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости, либо на этой оси, либо в этом центре.

Доказательство.

1. Плоскость материальной симметрии (рис. 52).

         Пусть  – плоскость симметрии Центр тяжести каждой пары симметричных частиц лежит в плоскости . Поэтому можно рассматривать систему параллельных равнодействующих , точки приложения которых лежат в плоскости .

Тогда, в соответствии с доказанной леммой, центр тяжести будет лежать в той же плоскости .

2. Ось материальной симметрии.

Пусть  – ось материальной симметрии (рис. 53).

     Центр тяжести каждой пары материальных частиц будет находиться на оси . Тогда центр тела принадлежит оси симметрии .

3. Центр материальной симметрии.

Пусть  – центр материальной симметрии (рис. 54). Равнодействующая каждой пары симметричных частиц будет приложена в центре . Тогда центр тяжести тела будет лежать в центре материальной симметрии.

Теорема доказана.

 

Основные способы определения центра тяжести

1. Способ эквивалентных точек ( применяется для определения центра тяжести тел сложной формы).

     Тело разбивается на части, центр тяжести которых легко определить. В центре тяжести каждой части помещается эквивалентная точка, вес которой равен весу данной части. Затем находится положение центра тяжести построенной системы эквивалентных точек.

2. Способ отрицательных весов (площадей, объемов) ( применяется для определения центра тяжести тел с вырезами или пустотами).

Тело мысленно дополняется до сплошного, после чего в каждом вырезе (пустоте) помещается отрицательная масса, вес которой равен весу части тела в объеме данного выреза. После этого применяется метод эквивалентных точек для сплошного тела и тел с отрицательными силами веса.

 

ТРЕНИЕ СКОЛЬЖЕНИЯ

Сила трения и коэффициент трения

     При рассмотрении связей и их реакций было отмечено, что реакция гладкой поверхности направлена по нормали к ней. Если же поверхность не гладкая, то реакция, вообще говоря, отклоняется от нормали. Разложим ее на нор мальную и касательную составляющие (рис. 55). Касательная составляющая реакции негладкой поверхности называется силой трения скольжения или сцепления.

    Пусть к телу весом , лежащему на горизонтальном негладком столе (рис. 55) прикладывается горизонтальное усилие . Если , то тело находится в покое, Если силу  немного увеличивать, то тело все же будет оставаться в покое, следовательно, со стороны негладкого стола возникает горизонтальная сила трения , направленная в сторону, противоположную силе , и уравновешивающая эту

силу. Сила  возрастает вместе с возрастанием силы  до тех пор, пока равновесие не нарушится. Касательная составляющая реакции стола, то есть сила  является силой трения. Когда  достигнет значения , наступит критический момент равновесия: если сила  остается равной , то равновесие не нарушится, но достаточно самого ничтожного приращения силы , чтобы тело сдвинулось с места.

     До наступления критического момента, то есть пока тело находится в покое, сила трения равна приложенному усилию

и можно лишь утверждать, что

.

     Таким образом, величина силі трения в покое может иметь любое значение в пределах от нуля до своего максимального значения.

     Законі трения, установленные французским ученым Кулоном, могут быть сформулированы следующим образом.

1. Максимальная сила трения пропорциональна нормальной реакции

Коэффициент пропорциональности  называется коэффициентом трения скольжения или сцепления и определяется опытным путем.

     2. Коэффициент трения скольжения зависит от материалов и состояния трущихся поверхностей и не зависит от площади соприкосновения трущихся тел.

Угол трения. Конус трения

Определение.          Углом трения называется угол, образованный нормальной реакцией  и наибольшей полной реакцией опорной поверхности .

     Иначе, углом трения называется наибольший угол , который может образовать полная реакция опорной поверхности с нормалью этой поверхности

     Полная реакция опорной поверхности всегда расположена в области угла трения (либо внутри угла трения, либо совпадает с одной из сторон этого угла).

Видно, что:              .

Таким образом, тангенс угла трения равен коэффициенту трения скольжения.

Определение.  Конус, ось которого является нормалью к поверхности, а образующая отклонена от нормали на угол, равный углу трения, называется конусом трения (рис. 57).

     Полная реакция опорной поверхности всегда расположена в области конуса трения (либо внутри конуса, либо совпадает с одной из его образующих). Если при движении тела по неподвижной поверхности в любом направлении коэффициент трения скольжения имеет одно и то же значение, то конус трения будет круговым конусом. Если в разных направлениях коэффициент трения скольжения имеет различные значения, то образующие конуса трения составляют с нормалью опорной поверхности различные углы, поэтому конус трения не будет круговым.

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: "Высшая школа", 1986. –416с.

2. Яблонский А.А., Никифоров В.А. Курс теоретической механики, т.1 – М.: "Высшая школа", 1984, 343с.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

 

ВВЕДЕНИЕ

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ……………………

1.1. Сила и система сил……………………………………………………...

1.2. Аксиомы статики,

2. СВЯЗИ И ИХ РЕАКЦИИ…………………………………………………..

3. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ………………………………………...

3.1. Теорема о равновесии тела под действием сходящейся

системы сил……………………………………………………………...

3.2. Аналитические условия равновесия тела, загруженного

сходящейся системой сил………………………………………………

3.3. Теорема о трех непараллельных силах (правило трех сил)…………..

4. МОМЕНТ СИЛЫ…………………………………………………………...

4.1. Момент силы относительно оси………………………………………..

4.2. Момент силы относительно полюса (центра, точки)…………………

4.3. Момент силы относительно полюса как векторное

произведение…………………………………………………………….

4.4. Связь между моментами силы относительно полюса и

     относительно оси………………………………………………………..

4.6 Главный момент системы сил………………………………………….

4.6. Зависимость между главными моментами системы сил

     относительно двух полюсов……………………………………………

4.7. Теорема Вариньона (частный случай)…………………………………

5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ СТАТИКИ. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ

     СИСТЕМЫ СИЛ………………………………………………………..

5.1. Элементарные операции статики………………………………………

5.2. Эквивалентные преобразования. Эквивалентные системы сил.

Равнодействующая………………………………………………………

5.3. Обобщенная теорема Вариньона……………………………………….

6. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ В ОБЩЕМ

     И ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯХ……………………………………………….

6.1. Основная лемма статики…………………………………………………

6.2. Основная теорема статики………………………………………………

6.3. Аналитические условия равновесия произвольной системы сил         

6.4. Частные случаи аналитических условий равновесия………………….

7. ОБЩИЙ ПРИЗНАК ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДВУХ СИСТЕМ СИЛ……

8. ТЕОРИЯ ПАР СИЛ…………………………………………………………..

8.1. Момент пары сил…………………………………………………………

8.2. Признак эквивалентности двух пар сил…………………………………

8.3. Следствия из признака эквивалентности пар…………………………...

8.4. Теорема о "сложении" пар………………………………………………..

9. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ К ЗАДАННОМУ ЦЕНТРУ…………….

9.1. Лемма о параллельном переносе силы…………………………………..

9.2. Теорема Пуансо…………………………………………………………….

9.3. Частные случаи приведения системы сил к заданному центру…………

9.4. Инварианты системы сил…………………………………………………..

10. ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ……………………...

10.1. Центр параллельных сил…………………………………………………..

10.2. Центр тяжести твердого тела………………………………………………

10.3. Статические моменты………………………………………………………

10.4. Центры тяжести симметричных тел……………………………………….

10.5. Основные способы определения центра тяжести…………………………

11. ТРЕНИЕ СКОЛЬЖЕНИЯ……………………………………………………...

11.1. Сила трения и коэффициент трения……………………………………….

11.2. Угол трения. Конус трения………………………………………………....

---

Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 454; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!