Приведение антагонистической игры к задаче линейного программирования
Условие задачи: Некоторый банк может принять участие в кредитовании трёх проектов. Возврат кредита и получение дохода зависят от общей финансовой ситуации, которая сложится в будущем году. Существующие прогнозы будущей финансовой ситуации противоречивы. Специалисты банка составили классификацию возможных финансовых ситуаций и сделали прогноз эффективности кредитования.
| Доход от проекта |
| Финансовая ситуация | ||
| Неблагоприятная | Нейтральная | Благоприятная | ||
| 1 | 2 | 5 | 8 | |
| 2 | 7 | 6 | 10 | |
| 3 | 12 | 10 | 8 | |
Банк хочет спланировать кредиты, чтобы гарантировать наибольший доход даже при неблагоприятной финансовой ситуации. Данную ситуацию можно смоделировать в виде антагонистической игры. Банк является игроком 1, он имеет три стратегии: кредитовать проект 1, 2 или 3. Его противник — финансовая ситуация, является игроком 2. Будем считать, что у игрока 2 имеется также три стратегии: неблагоприятная, нейтральная и благоприятная. Поскольку банк хочет получить максимальный доход при неблагоприятной ситуации, то предполагаем, что природа «хочет» навредить банку. Если ситуация будет лучше, то доход банка увеличится. В таблице представлена платёжная матрица этой игры: Игрок 1Игрок 2
Решение:
Исходя из данных таблицы, составим систему уравнений. Мы хотим найти такую смешанную стратегию, чтобы наш выигрыш (максимальный доход) был не меньше цены игры:
|
|
|
,где 
Ʋ - цена игры
Разделим правые и левые части на цену игры:
Сделаем замену переменных:
Следовательно, чтобы найти вероятности 
, нам необходимо переменные ( 
) перемножить на цену игры (Ʋ). При этом нам необходимы такие переменные, чтобы 
стремилась к своему минимуму.
Используя теорему об активных стратегиях, мы получаем систему ограничений:
1. неотрицательность переменных
2. все СУММПРОИЗВ (по столбцам) ≥1
Из условия нормировки мы получаем целевую функцию:
Ц.ф. = 
→ min
Ц.ф. = 0,125
Не стоит забывать, что цена игры (Ʋ) и целевая функция взаимообратные, т.е.
Цена игры (Ʋ) = 
= 8.
Понятие о статистических играх
Теория статистических решений может быть истолкована как теория поиска оптимального недетерминированного поведения в условиях неопределенности. Современная концепция статистического решения выдвинута А.Вальдом и считает поведение оптимальным, если оно минимизирует риск в последовательных экспериментах, т.е. математическое ожидание убытков статистического эксперимента. В такой постановке любая задача статистических решений может рассматриваться как игра двух лиц, в которой одним из игроков является "природа".
|
|
|
ПРИМЕР
Планируется выпуск новой продукции, для чего необходимо закупить станки. Система оптовой торговли может поставить не более 50 станков; комплект поставки - 10 станков. Минимальный объем поставок - 20 станков. Соответственно, вектор решений об объеме поставок X = (20,30,40,50).
Ежегодный доход от продукции, снимаемой с одного станка, cоставляет 21.9 тыс.руб. Оптовая цена одного станка 4.775 тыс.руб., эксплуатационные расходы - 3.6 тыс. руб. Затраты на подготовку производства составляют 25.5 тыс.руб. и не зависят от числа станков и объема выпуска.
Пусть спрос пропорционален количеству продукции, снимаемой с S работающих станков, и для простоты ограничимся вектором состояний спроса S = (0,10,20,30,40,50). Если решающее правило сформулировать как "доход - издержки", то можно рассчитать элементы платежной матрицы:
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 694; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!