Практический расчет сжатых стержней

⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 26Следующая ⇒

Такформула Эйлера имеет ограниченияв ее применении, то в инженерных расчетах чаще всего применяется практический расчет сжатых стержней.

Так называется расчет сжатых стержней не по формуле Эйлера, а расчет по коэффициентам снижения расчетного сопротивления.

Расчет на прочность требует, чтобы расчетные напряжения не превышали расчетного сопротивления R с учетом коэффициента условия работы γ_c, т.е.

. (11.23)

Условие устойчивости сжатого стержня требует, чтобы расчетное напряжение было меньше критического σ_к _p с учетом коэффициента запаса на устойчивость n_y, т. е.

. (11.24)

Рассмотрим отношения правых частей этих зависимостей, обозначенных через коэффициент φ.

Коэффициент φ, определяемый в зависимости от гибкости стержня λ, называется коэффициентом продольного изгиба или коэффициентом снижения расчетных напряжений при продольном изгибе.

или

и подставим в условие устойчивости (11.23)

. (11.25)

Отсюда получаем два вида расчета на устойчивость.

В первом расчете определяется допускаемая нагрузка на сжатую стойку.

Допускаемая сжимающая сила равна произведению площади поперечного сечения на расчетное сопротивление с учетом коэффициента снижении расчетного сопротивления.

. (11.26)

При этом учитывается вся площадь поперечного сечения без учета отверстий или выточек. Такие ослабления влияют на действительные напряжения и учитываются в расчете на прочность.

Так как критическое напряжение всегда меньше расчетного сопротивления R, то коэффициент φ меньше единицы и называется коэффициентом уменьшения расчетного сопротивления при расчете на устойчивость (или коэффициентом продольного изгиба). Этот коэффициент можно вычислить, если имеется диаграмма критических напряжений и задан коэффициент запаса устойчивости. Однако, этого делать не следует, так как существуют таблицы для подбора коэффициента φ по гибкости λ , см. табл. 11.1.

Таблица 11.1

λ	Ст. 3	Дерево	Чугун	λ	Ст. 3	Дерево
0	1,00	1,00	1,00	110	0,52	0,25
10	0,99	0,99	0,97	120	0,45	0,22
20	0,96	0,97	0,91	130	0,40	0,18
30	0,94	0,93	0,81	140	0,36	0,16
40	0,92	0,87	0,69	150	0,32	0,14
50	0,89	0,80	0,57	160	0,29
60	0,86	0,71	0,44	170	0,26
70	0,81	0,60	0,34	180	0,23
80	0,75	0,48	0,26	190	0,21
90	0,69	0,38		200	0,19
100	0,60	0,31	0,16

При отсутствии таблиц приближенное значение этого коэффициента можно вычислить по следующим формулам:

для мягкой стали

, , (11.27)

для дерева

, , (11.28)

для чугуна

, . (11.29)

Обратим внимание на то, что расчет по коэффициентам φ можно выполнять при любых гибкостей, но в таблице 11.1 для каждого материала есть ограничения. Это означает, что стержни с гибкостями выше ограниченных в таблице применять не рекомендуется в виде малых напряжений, которые можно допустить при работе на устойчивость.

Второй вид расчета на устойчивость – подбор поперечного сечения выполняется по формуле (11.30).

Площадь поперечного сечения сжатой стойки определяется подбором коэффициента снижения расчетного сопротивления, при котором расчетное напряжение не превысит расчетного сопротивления.

. (11.30)

Поскольку коэффициент φ выбирается из таблиц по гибкости λ, зависящей от радиуса инерции , а, следовательно, и от площади, то расчет по (11.29) производится подбором. В первой попытке задают любое значение φ (например φ₁=0,5). По этому коэффициенту вычисляют требуемую площадь поперечного сечения F₁, радиус инерции i₁ и действительную гибкость для полученного сечения λ₁. По этой гибкости из таблиц находят соответствующий коэффициент φ_1,Т. Если окажется, что заданный коэффициент не совпадет с полученным φ_1,Т, то расчет повторяется до тех пор, когда заданный и полученный в расчете коэффициенты будут примерно одинаковыми.

Пример 11.1.Жестко защемленная стойка из двутавра № 22 (рис. 11.6) длиною l=5 м загружена силой Р. Определить допускаемую силу и коэффициент запаса устойчивости, если расчетное сопротивление R=210 МПа, а коэффициент условия работы γ_c=0,9.

Решение. Выписываем их таблиц ГОСТа площадь поперечного сечения F=30,6 см²и меньший радиус инерции (относительно оси стенки двутавра) i_y=2,27 см.

Определяем максимальную гибкость стойки

. По этой гибкости из табл. 11.1 находим коэффициент продольного изгиба φ=0,52.

По формуле 11.5 с учетом коэффициента условия работы и расчетного сопротивления находим допускаемую силу =30,6·10^-4·210·10⁶·0,9=

=300,7·10³ Н=300,7 кН.

Так как гибкость , то критическую силу можно найти по формуле Эйлера 11.17.

Па=495,8 МПа.

Коэффициент запаса устойчивости .

Пример 11.2. Для стойки длиною l=3 м, две проекции которой показаны на рис. 11.6, под нагрузку Р =500 кН подобрать двутавр.

Решение. По формуле 11.29, приняв φ=0,5, вычисляем площадь поперечного сечения двутавра

м² =52,9 см².

Из таблиц ГОСТа подбираем двутавр примерно с такой площадью: №33, F=53,8 см^2..

Его радиусы инерции i_y=2,79 см, i_x=13,5 см.

Вычисляем гибкости стойки относительно двух положений двутавра, соответственно способу закрепления на опорах:

По большей гибкости 75,3 из табл. 11.1 находим соответствующий коэффициент продольного изгиба φ=0,78, который оказался больше, принятого в первой попытке расчета.

Во второй попытке принимаем примерно среднее значение коэффициента и расчет повторяем:

м² =40,7 см².

Этой площади соответствует двутавр №27 с минимальным радиусом инерции i_y=2,54 см. Гибкости соответствует коэффициент φ=0,734.

В третьей попытке принимаем φ=0,7,

м² =37,8 см².

чему соответствует двутавр №24, а: F=37,5 см², i_y=2,63 см, λ_y=79,8, φ=0,75.

Проверяем расчетное напряжение

Па=197,5 МПа.

В виду недонапряжения на 5,9%, примем предшествующий двутавр №24: F=34,8 см², i_y=2,37 см, λ_y=88,6, φ=0,745, σ_расч=214,3 МПа.

Так как гибкость λ_y=88,6<100, то критическое напряжение вычисляем по формуле 11.20

МПа.

Так как действительное напряжение Па, т.е. 143,7 МПа, то коэффициент запаса устойчивости

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 283; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 7 8 9 10 111213 14 15 16 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!