Изгиб с растяжением (сжатием)

Сочетание изгиба и растяжения (сжатия) имеет место в случае:

- продольно-поперечного изгиба стержня;

- внецентренного растяжения (сжатия).

10.3.1. Изгиб с растяжением (сжатием)

Большинство элементов рамного каркаса промышленного здания одновременно работают на сжатие (растяжение) в сочетании с поперечным изгибом. Примером могут служить колонны промышленных зданий, испытывающие продольное сжатие от действия вышележащих конструкций покрытия, и поперечный изгиб от действия горизонтальных нагрузок (ветровая нагрузка, торможение крановой тележки и т.д.).

В случае действия изгиба с растяжением-сжатием (нагрузки приложены в различных плоскостях, пересекающих ось элемента, и приведены к проекциям на плоскости xoz и yoz) и растяжения (сжатия), действующей вдоль оси элемента и приложенной в центре тяжести его сечения, вызывает внутренние усилия N, Q_x, Q_y, M_x, M_y.

Исходя из принципа независимости действия сил нормальные напряжения в произвольной точке сечения с координатами х и у (см. рис. 10.5) определятся как

σ_z = (10.10)

Учитывая, что σ_z(N), σ_z(M_x) и σ_z(M_y) ориентированы параллельно оси z, и это можно упрощенно трактовать, как линейное напряженное состояние, условие прочности может быть записано как

σ_z = ≤ R (10.11)

10.3.2. Внецентренное растяжение (сжатие)

Примером внецентренно сжатых элементов могут служить колонны, нагрузка на которые от вышележащих элементов (балок, плит) осуществляется с эксцентриситетом. На важность учета этого фактора при проектировании и монтаже указывает то, что в строительных нормах и правилах предельно допустимые величины отклонений опорных ребер от проектного положения жестко регламентируются. Однако внецентренное сжатие (растяжение) испытывают не только стойки (колонны), но и различные элементы стержневых конструкций, например, пояса стропильных ферм, если элементы решетки не удается точно сцентрировать в узел фермы (то есть добиться того, чтобы оси элементов пояса и решетки пересекались в одной точке).

Внецентренное растяжение (сжатие) возникает в том случае, когда растягивающая (сжимающая) сила, приложенная к стержню, направлена параллельно его продольной оси, но с эксцентриситетом относительно центра тяжести его поперечного сечения (рис. 10.6).

При этом под эксцентриситетом приложения нагрузки будем понимать наименьшие расстояния (x_p , y_p) от точки, через которую проходит линия действия внешней нагрузки Р, до главных осей инерции сечения y и х соответственно.

Путем параллельного переноса силы Р в центр тяжести сечения как в абсолютно твердом теле и замены ее внецентренного приложения учетом соответствующих изгибающих моментов M_x = P · y_p и M_y = P · x_p получаем эквивалентное напряженное состояние, которое описывается уже известной нам формулой (10.10), позволяющей определить нормальные напряжения σ_z=σ_z(N)+σ_z(M_x)+σ_z(M_y) в произвольной точке поперечного сечения К с координатами х_К и у_К.

(10.12)

- формула для определения нормальных напряжений при внецентренном сжатии (растяжении)

где (i_x , i_y - радиусы инерции сечения стержня относительно главных центральных осей х и у).

Положение нейтральной линии, необходимое при решении практических задач конструирования, связанных с разграничением растянутой и сжатой зоны сечения и определением точек, в которых действуют максимальные нормальные напряжения, определим, приравняв выражение (10.12) нулю. Учитывая, что (P / F) ≠ 0, получим

- уравнение нейтральной линии (10.13)

где x _н , y _н - координаты произвольной точки, лежащей на нейтральной линии

Решая полученное уравнение (10.13) в отрезках по осям координат, определим (рис.10.7).

при x _н = 0: при y _н = 0: (10.14)

Анализируя рис. 10.7 и формулы (10.12)…(10.14) можно сделать следующие важные практические выводы:

Нейтральная линия пересекает координатные оси в точках квадранта, противоположному квадранту с точкой приложения силы Р.
Максимальные значения напряжений возникают в наиболее удаленных от нейтральной линии точках (для рассматриваемого примера – B (σ_min), D (σ_max).
При относительно малых значениях эксцентриситетов приложения силы Р значения х_н и у_н могут достигать больших величин, нейтральная линия находиться за пределами сечения и в этом случае в сечении возникают однозначные напряжения.

10.3.3. Ядро сечения

Рассмотрим более подробно последний пункт выводов и попытаемся определить условия внецентренного приложения силы P, при которых в сечении будут однозначные напряжения. Это важно при проектировании элементов, которые изготавливаются из материалов, плохо воспринимающих растяжение (например, бетон либо кирпичная кладка).

В этом случае в формулах (10.14) известными величинами становятся координаты точек, принадлежащих отрезкам х и у, определяющих положение нейтральной линии. Рассмотрим некоторые характерные особенности поведения нейтральной линии, вытекающие из анализа формул (10.14) (рис. 10.8):

- если точка приложения силы Р будет находиться на оси х или у, то нейтральная ось будет занимать положение параллельное оси у или х соответственно (рис. 10.8.а).Положению силы в точке 1 будет соответствовать нулевая лини– I, точке 2 – II, точке 3 – III, точке 4 - IV);

- при перемещении точки приложения силы Р по прямой, проходящей через центр тяжести сечения, нейтральная линия будет перемещаться параллельно самой себе (рис. 10.8. а: 5 – V, 6 – VI), так как

tg φ

- из этого следует, что тангенс угла наклона нейтральной линии зависит не от численного значения координат точки приложения силы Р, а от их соотношения;

- при перемещении точки приложения силы Р по прямой, не проходящей через центр тяжести сечения, нейтральная линия будет поворачиваться вокруг некоторой точки С. Эта происходит в силу того, что точка принадлежит одновременно 2-м нулевым линиям I-I и II-II и условно может быть представлена как результат одновременного действия 2-х сил, приложенных в точках 1 и 2. В то же время и произвольно взятая точка 3, лежащая на прямой 1-2, также может быть представлена, как равнодействующая 2-х аналогичных сил, но приложенных в точках 3_у и 3_х (рис.10.8б).

Рассмотреть случай, когда нейтральная линия I-I будет касательной к контуру сечения (рис. 10.9). Такое ее положение будет определять условие однозначности напряжений. Тогда, используя соотношения (10.14), определяющие положение нейтральной линии, найдем значения координат точки 1 приложения силы Р, вызывающее указанное положение нейтральной линии

при x _н = 0: при y _н = 0: (10.15)

Точно так же можно определить положение точек 2 и 3, которые определяют положение касательных II-II и III-III. Аналогичным образом, последовательно обходя контур поперечного сечения и проводя множество касательных, соответствующими точками приложения сил можно сформировать кривую, ограничивающую определенную зону. Сформированная таким образом область, расположенная вокруг центра тяжести сечения, внутри или на контуре которой приложение силы Р, вызывает во всем поперечном сечении напряжения одного знака, называется ядром сечения.

Рассмотрим несколько примеров построения ядра сечения.

Пример 10.2. Прямоугольное сечение с размерами сторон (рис. 10.10а).

Положим, что нейтральная линия последовательно занимает положения, совпадающие со сторонами АВ, ВС, CD, DA . Найдем для каждого положения нейтральной линии соответствующее положение силы Р.

Например, касательная к сечению проходит через сторону АВ. Тогда положение точки 1 определится

при x = 0:

Пример 10.3. Двутавровое сечение (рис. 10.10.б).

Выписываем из сортамента прокатных профилей значения квадратов радиусов инерции соответствующих рассматриваемому двутавру. Так же как и в предыдущем случае, последовательно обходя контур, рассмотрим четыре положение касательных I-I…IV-IV. Учитывая симметричность исследуемого сечения, достаточно рассмотрения положения касательных I-I и II-II. Следует указать в качестве общего замечания, что наличие внутренних углов в сечении (таких как точки соединения стенки с поясами) не вызывает появления дополнительных вершин ядра сечения, поскольку для таких точек невозможно провести касательную к сечению. Тогда для точек, лежащих на оси y, координата определится, как

а для точек, лежащих на оси х

Пример 10.4. Круглое сечение диаметром (рис. 10.10.в).

Вследствие полярной симметричности рассматриваемого сечения (т.е. симметричности относительно центра тяжести сечения), для построения ядра сечения достаточно задаться одним положением нейтральной линии:

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 588; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8910 11 12 13 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!