Метод начальных параметров определения перемещений при изгибе балок постоянной жесткости
Рассмотрим консольную балку, загруженную системой сосредоточенных силовых факторов
Запишем для каждого участка балки дифференциальные уравнения (9.4). При действии указанной нагрузки ось балки изогнется. Определим прогибы и углы поворота сечений балки на каждом её участке. Для этого состаим на каждом из них дифференциальные уравнения:
Каждое из этих уравнений дважды проинтегрируем, не раскрывая скобки способом Клебша, получим:
(а)
(б)
(в)
(г)
(д)
(е)
Найдем соотношения между постоянными интегрирования из условия непрерывности функций углов поворота и прогибов. Так при z=am углы поворота φI=φII и прогибы vI=vII. Сравнивая формулы (а) и (в) получаем С1=С2 и D1=D2. При z=am углы поворота φII=φIIIи прогибы vII=vШ путем сравнения (в) с (д), а также (г) с (е) получаем С2=С3 и D2=D3. А следовательно С1=С2=С3=С и D1=D2=D3=D. Таким образом независимых произвольных постоянный интегрирования осталось только две: С и D.
Выразим постоянные интегрирования С и D через угол поворота φ0 и прогиб v0 в начале координат балки, используя условие при z=0, φI=φ0, vI=v0. В результате получаем C=EJxφ0, D=EJxv0.
А теперь учтем влияние распределенной нагрузки q на угол поворота φ и прогиб v в текущем сечении z балки (рис. 9.8). Воспользуемся способом замены переменной. На расстоянии η выделим элементарный отрезок балки dη в пределах которого распределенную нагрузку q можно считать постоянной. Влияние элементарной силы на угол поворота составит qη2dη/2. Влияние всей распределенной нагрузки на угол поворота будет определяться интегралом:
|
|
|
(ж)
Интеграл (ж) можно вычислить только при известной функции нагрузки q(z). При q=const интеграл (ж) принимает вид:
(з)
Аналогично можно показать влияние распределенной нагрузки на прогиб v в виде интеграла
(и)
Обобщая полученные результаты, формулы согласно методу начальных параметров для определения углов поворота и прогибов принимают вид:
(9.5)
(9.6)
Или
(9.5*)
(9.6*)
где m = z - am, p = z – ap , u н = z - a н , u к = z - a к
Знак Σ в уравнениях (9.5) и (9.6) означает, что учитываются несколько однотипных внешних нагрузок. Эти формулы могут быть использованы для определения прогибов и углов поворота в балках постоянной жесткости. В них содержатся статические начальные параметры М0, Q0, которые для статически определимых балок известны, либо могут быть найдены из условия равновесия.
|
|
|
Кинематические начальные параметры φ0, v0 определяются из граничных условий, которые рассмотрены в п. 9.3.
Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие применение уравнений метода начальных параметров по определению угловых и линейных перемещений в статически определимых балках.
 |
Пример № 9.3.Для заданной статически определимой балки методом начальных параметров определитьуглы поворотаφ(z)ипрогибыv(z) на свободном краю консоли.
1. Сначала определим опорные реакции:
кН
кН
Проверим определение реакций опор:
.
2. Свяжем балку с системой координат zAy и сформулируем граничные условия: при z=0, vI=0; при z=5м vII=0.
3. Так как граничные условия сформулированы через функции прогибов v для первого и второго участков, то запишем уравнения прогибов для этих участков, используя формулу (9.6).
а) Участок I 
:
(к)
б) Участок II 
:
(л)
4) Используя первое граничное условие из формулы (к) получаем: EJxv0=0. По формуле (л) с использованием второго граничного условия получаем:
Откуда значение начального параметра: EJxφ0= -57,708/5 = -11,54 кНм2
|
|
|
5) Уравнения углов поворота и прогибов для третьего участка будут иметь вид:
6) Подставляя координаты точки свободного конца консоли z= 7,5, м определим искомые перемещения
После вычислений получаем:
; 
.
Пример № 9.4.Для заданной статически определимой балки (рис.9.10) определитьугол поворотаφ в сечении к1 ипрогибv в точках к1 и к2.Применить метод начальных параметров.
1.Определим опорную реакцию А из условия равновесия ∑у=0, то есть
-20-30·2+А=0, откуда А=80 кН.
2) Граничные условия: при z=2 м , vI=0; z=4 м, φII=0.
3) Записываем уравнение прогибов для первого участка и уравнение углов поворота для второго участка по формулам (9.5) и (9.6):
(а)
(б)
4. Подставим граничные условия в уравнения (а) и (б), получаем:
Откуда получаем: 
.
Так как точка к1 совпадает с началом координат О выбранной системы осей zOy, то
.
Для определения прогиба в точке к2 следует использовать уравнение прогибов для второго участка:
Таким образом, центр тяжести сечения, закрепленного вертикальным ползуном, переместится на величину:
|
|
|
.
Знак «минус» указывает на перемещение в отрицательном направлении оси у.
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 578; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!