Метод непосредственного интегрирования при определении перемещений в балках. Граничные условия
Остановимся на применении уравнения (9.4) при определении прогибов и углов поворота сечений балки методом непосредственного интегрирования. Это уравнение есть дифференциальное уравнение второго порядка с разделенными переменными. Поэтому его интегрирование выполняется по довольно простой схеме. Первый интеграл позволяет найти углы поворота φ(z), т.е.:
; 
(а)
Вторичное интегрирование дает возможность найти функцию прогиба v(z):
(б)
Формулы (а) и (б) содержат две произвольные постоянные интегрирования С1 и С2., которые можно найти из граничных условий для функций прогиба и угла поворота в балке, вытекающих из условия закрепления балки идеальными связями.
На рис. 9.4 показаны наиболее часто встречающиеся способы закрепления и связанные с ними граничные условия.
Для балки на рис. (9.4, а) имеем:
при
z=a, прогиб v=0;
при
z=l+a, прогиб v=0.
Для балки на рис. (9.4, б)
при
z=l, прогиб v=0;
угол поворота φ=0
Для балки на рис. (9.4, в)
при z=a, прогиб v=0;
при z=l, угол поворота φ=0
Таким образом, для каждой представленной балки имеется по два граничных условия. Это позволяет определять постоянные интегрирования С1 и С2 в решениях (а) и (б).
Проследим применение метода непосредственного интегрирования для определения перемещений в конкретном случае.
Пример № 9.1.
Определить прогиб свободного конца балки с изгибной жесткостью EJx (рис. 9.5) методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки.
|
|
|
Решение.
Решение основано на использовании дифференциального уравнения (9.4).
Опорные реакции М0=ql/2, Q0=ql. Изгибающий момент в текущем сечении:
М(z) = -М0+Q0 z-qz2/2=-ql2/2+qlz-qz2/2
Подставим М(z) в уравнение (9.4) получим:
Проинтегрируем первый раз:
Второе интегрирование дает:
Граничные условия: при z=0, v=0, φ=0. С их учетом получаем С1= С2=0. Прогиб свободного конца при z=l получаем:
Знак минус у прогиба vk показывает, что его направление противоположно положительному направлению оси у, а знак минус у угла поворота φк указывает на поворот сечения свободного конца балки по ходу часовой стрелки.
Пример № 9.2.
Определить прогиб vk в середине пролета балки постоянной жесткости EJx и углы поворота φА и φВ опорных сечений (рис. 9.6) методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения (9.4).
Решение.
Ответы на поставленные вопросы дадим, используя уравнение (9.4). Изгибающий момент в сечении левого участка МI(z)=Аz=Рz/2, а в сечении правого участка изибающий момент MII(z)=Р(l-z)/2. Тогда дифференциальные уравнения на каждом участке балки будут иметь вид:
|
|
|
(а)
(б)
Интегрируем дважды сначала уравнение (а), а потом уравнение (б) получаем:
Граничные условия: при z=0, vI=0; при z=l, vII=0. Из второго уравнения следует, что D1=0. Четвертое уравнение дает соотношение:
, или 
Воспользуемся условием симметрии балки и нагрузки. При z=l/2, φI=0. Тогда 
. Из условия симметрии балки при z=l/2, φI=φII получим: 
. Тогда значение постоянной интегрирования 
. Подставим значения постоянных интегрирования, получим уравнения углов поворота и прогибов на каждом участке балки в виде:
(в)
(г)
(д)
(е)
Определим углы поворота сечений балки над опорами А и В. Используя уравнение (в) при z=0, получаем 
. По уравнению (д) при z=l находим 
. Прогиб в середине пролета балки можно получить из уравнения (г), либо из уравнения (е) при z=l/2. Его значение составит: 
|
|
|
Приведенные примеры показывают, что применение метода непосредственного интегрирования ограничено на практике. Это связано с тем что при определении постоянных интегрировании приходится решать систему 2n линейных алгебраических уравнений. На практике более широкое применение находят другие методы, основанные на использовании уравнения (9.4).
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 701; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!