Потенциальная энергия упругой деформации при сложном напряженном состоянии

⇐ ПредыдущаяСтр 16 из 30Следующая ⇒

Из теории простого растяжения и сжатия известно, что удельная потенциальная энергия упругой деформации определяется по формуле:

(4.43)

Обобщая формулу (4.43) на случай объёмного напряженного состояния, когда действует не одно, а три главных напряжения, удельную потенциальную энергию можно определить так:

(4.44)

Используя формулы обобщенного закона Р.Гука (4.36), формулу (4.44) можно представить в таком виде

(4.45)

В случае плоского напряженного состояния, при σ₃=0 получим

(4.46)

Разложим объёмное напряженное состояние на два составляющих: в одном из них будут действовать только средние напряжения σ₀ (рис. 4.11в), а в другом разности напряжений σ'_i₌σ_i-σ₀ (рис.4.11б), (i=1,2,3). Подставим в формулу (4.39) вместо главных напряжений значения σ_i-σ₀ получим:

= (4.47)

Следовательно, вторая составляющая напряженного состояния не связана с изменением объёма тела, а лишь только с изменением его формы. Первая же составляющая напряженного состояния связана только с изменением объёма тела, которое составит:

(4.48)

Обозначая в формуле (4.48)

, (4.49)

с учетом (4.40) запишем:

(4.50)

Следовательно, среднее напряжение при объёмном напряженном состоянии пропорционально утроенному значению средней деформации. Это еще одна форма записи закона Р.Гука.

A теперь представим потенциальную энергию как сумму энергии изменения объёма u₀ и энергии изменения формы тела:

u = u₀ +u_ф (4.51)

Найдем эти составляющие потенциальной энергии, воспользовавшись формулой (4.45). Подставим туда значение σ₀ (4.41) получим:

(4.52)

Энергия изменения формы тела будет вычисляться разностью u_ф = u - u₀_, т.е.:

(4.53)

в частном случае плоского напряженного состояния, когда σ₃ = 0

(4.54)

В случае, когда на исходных площадках при плоском напряженном состоянии σ_x=τ_xy=τ_xz=σ_y=0, σ_z=σ, τ_yz=τ, с учетом формулы (4.22) потенциальная энергия формоизменения объема тела принимает следующий вид:

(4.55)

Полученные формулы по исследованию напряженного состояния имеют фундаментальное значение в науке сопротивления материалов по созданию теорий прочности при сложном напряженном состоянии для различных материалов.

Круг напряжений О. Мора

Соотношения между напряжениями на наклонных и исходных площадках при плоском и объёмном напряженном состояниях можно представить графически с помощью круговой диаграммы. Эта диаграмма была предложена немецким ученым Отто Мором.

В случае плоского напряженного состояния напряжения на наклонных площадках через главные напряжения на основании формул (4.8-4.10) можно представить так (рис.4.12а):

(4.57)

(4.56)

Каждой наклонной площадке соответствует своя изображающая точка М окружности с координатами σ_z', τ_y'z'.(рис. 4.12б) При положительном направлении угла α направленном против часовой стрелки ось τ направляется вниз, что согласуется с формулами (4.58): α>0, sin2α>0, τ_y'z'<0 (рис.4.12 в).

Введем обозначения: , . Тогда формулы (4.56) и (4.57) в осях σ и τ будут представлять собой параметрическое уравнение окружности с центром с и радиусом r:

(4.58)

Эту окружность называют кругом напряжений О. Мора (рис. 4.12)–(4.13).

Таким образом, чтобы построить круг напряжений следует отложить на оси σ значения главных напряжений σ₁ и σ₂. На отрезке 12, как на диаметре провести окружность. Принимая точку 2 за полюс, провести через нее луч параллельный нормали z', т.е. под углом α к горизонтали с учетом знака, до пересечения с окружностью. Получим изображающую точку М. Координаты этой точки определят в принятой системе осей значения нормальных σ_z' и касательных τ_y'z' напряжений на заданной наклонной площадке.

Рассмотрим построение круга напряжений в случае, когда исходные площадки не являются главными (рис. 4.13а). Для определенности будем считать, что нормальные напряжения σ_z>σ_y >0, касательное напряжение τ_yz>0. Построим изображающую точку М (σ_z,τ_yz), т.е. по напряжениям, дейстующим на площадке с нормалью z. Теперь через изображающую точку М, проведем луч до пересечения с окружностью, получим полюс А. Через полюс А параллельно нормали к наклонной площадке, т.е. под углом α к горизонтали с учетом знака, проведем луч до пересечения с окружностью в точке В, которая является изображающей точкой заданной наклонной площадки. Координаты точки В будут определять значения нормальных σ_z' и касательных напряжений τ_y'z' на этой площадке.

По кругу напряжений можно найти положение главных площадок с напряжениями σ₁ и σ₂. Для этого из полюса А нужно провести лучи через изображающие точки главных площадок 3 и 4, которые укажут на направление нормалей к главным площадкам углами α₁ и α₂=90+α₁. Значение главных напряжений σ₁ и σ₂. будет определяться отрезками О3 и О4 соответственно.

По кругу напряжений можно найти положение главных площадок с напряжениями σ₁ и σ₂. Для этого из полюса А нужно провести лучи через изображающие точки главных площадок 3 и 4, которые укажут на направление нормалей к главным площадкам углами α₁ и α₂=90+α₁. Значение главных напряжений σ₁ и σ₂ будет определяться отрезками О3 и О4 соответственно.

Из рис (4.13) следует, что

или

Аналогично доказывается положение:

что соответсиует исходным формулам, на основании которых строился круг напряжений. Можно получить аналогично и значения главных напряжений:

Что совпадает с формулой (4.21).

Таким образом все точки круга О. Мора определяют плоское напряженное состояние в точке твердого деформируемого тела.

МОДУЛЬ 5. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

Достаточно просто решается вопрос о прочности материала в точке тела, находящейся в условиях одноосного напряженного состояния (простого растяжения-сжатия). В этом случае в поперечном сечении действует только одно главное напряжение равное расчетному напряжению. Как известно условие прочности материала по несущей способности в этом случае записывается так:

, (5.1)

где R – расчетное сопротивление материала элемента конструкции. Формула (5.1) не может быть применена в условиях сложного напряженного состояния, когда в точке тела действуют более одного главного напряжения, оказывающие определенное влияние на прочность материала в этой точке. В формуле (5.1) фигурирует расчетное сопротивление материала R, определяемое из опыта на простое растяжение (сжатие) цилиндрических образцов. Подобную величину получить при сложном напряженном состоянии не представляется возможным. Для этого потребовалось бы проведения огромного числа испытаний материалов при различных сочетаниях главных напряжений. Поэтому на практике пользуются так называемыми гипотезами, или теориями прочности, где предполагается, что расчетное сопротивление R не зависит от вида напряженного состояния и может быть определено из опыта на простое растяжение (сжатие) цилиндрических образцов материала, из которого выполняется элемент конструкции.

Рассмотрим основные классические гипотезы прочности материалов в последовательности их создания.

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 343; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 11 12 13 14 151617 18 19 20 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!