Потенциальная энергия при растяжении и сжатии
Сила P, приложенная к стержню постоянного сечения, вызывает перемещение его нижней точки на величину Δl (рис. 3.32 а). Эта сила P на перемещении Δl совершает работу. В элементе при этом накапливается потенциальная энергия. После снятия внешней нагрузки потенциальная энергия восстанавливает стержень в первоначальных размерах.
Потенциальная энергия деформации – энергия, обусловленная работой внешних сил, приложенных к элементу, на вызванных ими перемещениях.
На рис 3.32 б показана диаграмма растяжения стали. Приложенная сила P1 вызывает удлинение стержня на величину Δl1. После приращения силы на величину ΔP1 деформация его увеличивается на dΔl1. Элементарную работу силы P1 в пределах упругих деформаций можно найти как произведение
dA = P1dΔl1
Согласно рис 3.32 б это произведение есть элементарная площадка dω.
dA = dω
Или
A = 
dω = ω
Следовательно, работа внешней силы или потенциальная энергия, накопленная стержнем в пределах упругих деформаций, равна площади треугольника:
(3.27)
Учитывая, что продольное усилие N = P, а абсолютная деформация
,
получим:
(3.28)
В случае ступенчатого стержня, имеющего n участков, величина потенциальной энергии может быть найдена как
|
|
|
(3.29)
В теоретической части курса «Сопротивление материалов» используется понятие так называемой удельной потенциальной энергии деформации.
Удельная потенциальная энергия представляет собой величину потенциальной энергии, накопленной стержнем в процессе деформации, отнесенной к единице объема материала.
здесь
, 
Относительную деформацию через напряжения по закону Гука можно найти как:
Следовательно, 
(3.31)
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Обозначение напряжений. Правило знаков. Виды напряженного состояния
Рассмотрим тело произвольной формы, занимающее объем V (рис. 4.1), в декартовой системе координат x,y,z , определенным образом закрепленное, загруженное некоторой произвольной нагрузкой, находящееся в равновесии. Выделим из этого тела элементарный объём размером dV=dx×dy×dz . По граням этого объёма будут действовать, как известно из вводной части, нормальные σ и касательные τ напряжения рис 4.2.
|
|
|
Примем следующие обозначения для напряжений:
нормальное напряжение обозначим буквой σ с одним индексом, означающим название оси, параллельно которой оно действует. Так нормальное напряжение σх направлено параллельно оси х. Касательные напряжения обозначим буквой τ с двумя индексами – первый будет означать ось, которая является нормалью к рассматриваемой площадке элементарного объёма, а второй индекс будет означать ось, параллельно которой это напряжение действует. Так касательное напряжение τyx действует на грани элементарного объёма с нормалью у параллельно оси х.
Правило знаков для напряжений:
если внешняя нормаль к рассматриваемой грани (площадке) совпадает с положительным (отрицательным) направлением координатной оси, то положительное напряжение также должно совпадать с положительным (отрицательным) направлением той оси, параллельно которой это напряжение действует. На рис 4.2 все напряжения показаны с положительным знаком.
Меняя ориентацию выделенного объёма относительно осей x, y , z, будут изменяться значения нормальных σ и касательных напряжений τ.
|
|
|
Вся совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всевозможным площадкам в окрестности данной точки, образуют напряженное состояние в этой точке. Можно указать такое положение элементарного объёма dV относительно осей x, y, z, при котором на его гранях будут отсутствовать касательные напряжения τ. Площадки, где отсутствуют касательные напряжения, называются главными площадками, а нормальные напряжения σ, действующие на главных площадках, называются главными напряжениями.
Если вся совокупность напряжений приводится к одному главному напряжению σ1 – напряженное состояние называется одноосным (линейным – простое растяжение-сжатие: рис 4.3а), к двум главным напряжениям σ1 и σ2 – напряженное состояние считается двуосным (плоским: рис 4.3б), к трем главным напряжениям σ1, σ2, σ3 – напряженное состояние относится к трехосному (пространственному или объёмному) (рис. 4.3в).
 |
Представим совокупность напряжений (рис. 4.2), действующих на исходных площадках малого объёма в виде такой таблицы:
(4.1)
Данная таблица представляет собой тензор напряжений, характеризующий напряженное состояние в точке деформируемого твёрдого тела.
|
|
|
Таким образом, подобно скалярной величине, характеризующейся одним числом и векторной величине, характеризующейся тремя числами (как правило, проекциями на координатные оси), тензорная величина описывается девятью компонентами, содержащимися в таблице (4.1).
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 358; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!