Экстремальные касательные напряжения при объёмном и плоском напряженном состоянии

 

В качестве исходных площадок примем главные площадки с главными напряжениями σ₁ и σ₂ (рис.4.8).Формулы нормальных и касательных напряжений (4.7) и (4.8) принимают вид:

 

σ_z'=σ₁cos²α+σ₂sin²α                                                                  (4.25)

                                                            (4.26)

 

Из формулы (4.26) видно, что при α= ± π/4 касательные напряжения τ_y'z' принимают экстремальное значение:

,                                                                       (4.27)

 

или после подстановки главных напряжений (4.21) получим

                                                     (4.27)^*

Нормальные напряжения:

σ₄₅ = (σ₁+σ₂)/2                                                                            (4.28)

 

Площадки, где действуют экстремальные касательные напряжения τ_max, называются площадками сдвига. На площадках сдвига касательные напряжения равны полу разности главных напряжений, а нормальные напряжения равны полу сумме главных напряжений.

В частном случае, когда на исходных площадках действуют главные напряжения σ₁=σ, σ₂= -σ экстремальные касательные напряжения:

,                                                                     (4.29)

а нормальные напряжения σ₄₅ = 0.

 

Площадки, где действуют только касательные напряжения, назывются площадками чистого сдвига.

 

В случае объёмного напряженного состояния значения экстремальных касательных напряжений на площадках сдвига нужно определять по формулам:

, , ,                                   (4.30)

 

а величины нормальных напряжений можно находить так:

σ₁₂ = (σ₁+σ₂)/2; 

σ₂₃ = (σ₂+σ₃)/2;                                                                   (4.31)

σ₃₁ = (σ₃+σ₁)/2. 

 

Таким образом на площадках сдвига действующие касательные напряжения равны полуразности главных напряжений, а нормальные напряжения равны их полусумме.

 

Обобщенный закон Гука при объёмном и плоском напряженном состоянии

 

Из теории простого растяжения известно, что относительная продольная и относительная поперечная деформации для изотропного однородного бруса определяется так:

ε=σ/Е, ε^'=-μσ/Е                                                                     (4.32)

в случае объёмного напряженного состояния действует не одно, а три главных напряжения.

Для определения относительных деформаций по направлению главных напряжений применим принцип суперпозиции. Пусть сначала действует только главное напряжение σ₁.

Тогда значения деформаций по направлениям главных напряжений:

                                                  (4.33)

При действии главных напряжений σ₂ и σ₃ будем иметь аналогичные равенства:

                                                  (4.34)

                                              (4.35)

 

Складывая соответствующие составляющие деформаций (4.33), (4.34) и (4.35) получим:

                                                                        (4.36)

Формулы (4.36) являются обобщенным законом Р. Гука при объёмном напряженном состоянии.

Для случая плоского напряженного состояния, когда одно из главных напряжений, например σ₃=0, формулы (4.36) принимают вид:

;   ;                                        (4.37)

Формулы (4.37) показывают, что при плоском напряженном состоянии деформированное состояние сохраняется объёмным.

 

Относительное изменение объёма тела

 

Рассмотрим деформацию элементарного параллелепипеда с первоначальным объёмом dV₀=dx₁dx₂dx₃ при действии на него трех главных растягивающих напряжений σ₁≥ σ₂≥ σ₃ (рис. 4.10а).

После деформации тела (рис.4.10б) его размеры будут такими:

dV=dx₁ dx₂ dx₃ (1+ε₁) (1+ε₂) (1+ε₃)

Раскрывая скобки, получим:

dV=(1+ε₁+ε₂+ε₃+ε₁ε₂+ε₂ε₃+ε₃ε₁++ε₁ε₂ε₃)dx₁dx₂ dx₃

Пренебрегая величинами 2-го и 3-го порядка малости, можно записать:

dV≈(1+ε₁+ε₂+ε₃)dx₁ dx₂ dx₃

Относительным изменением объема тела называется отношение разности объёмов после и до деформации к его первоначальному объёму:

И окончательно получаем, что относительное изменение объёма тела будет равно сумме главных относительных деформаций

Θ=ε₁+ε₂+ε₃                                                                      (4.38)

 

Заменяя в формуле (4.38) относительные деформации в соответствии с формулами обобщенного закона Р. Гука, можно получить:

 

                                                        (4.39)

Относительное изменение объёма θ пропорционально первому инварианту тензора напряжений I₁(T_σ), а, следовательно, является также инвариантом относительно преобразования вращения элементарного объёма. Кроме того, из формулы (4.39) следует, что коэффициент Пуассона μ не может быть больше 0,5. Подумайте, почему?

Перепишем формулу (4.39) несколько иначе:

 

Вводя обозначения

,                                                                         (4.40)

,                                                                (4.41)

запишем

                                                                                (4.42)

Таким образом, среднее напряжение σ₀ пропорционально относительному изменению объёма.

Коэффициентом пропорциональности здесь является модуль объемной деформации К, которыйпо величине несколько ниже модуля нормальной упругости Е.

Следует обратить внимание на то, что при объёмном напряженном состоянии, как и при простом растяжении, существует аналогичная зависимость в форме закона Гука (4.42).

 

---

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 782; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!