Закон парности касательных напряжений

Рассмотрим равновесие малого выделенного элемента из твердого деформируемого тела, показанного на рис.4.1. Запишем уравнения равновесия для пространственной системы сил в виде:

ΣМ_z=0: ,

ΣМ_х=0: ,

ΣМ_у=0:

откуда получаем:

                                                                       (4.2)

Таким образом, касательные напряжения τ на паре взаимно перпендикулярных площадок равны по величине и направлены к общему ребру или от него. В этом состоит суть закона взаимности или парности касательных напряжений, выражающийся формулами (4.2).

 

Напряжения на наклонных площадках при объёмном и при плоском напряженных состояниях

 

Отсечем от элементарного объёма некоторую его часть произвольной наклонной плоскостью. Положение этой плоскости зададим вектором единичной нормали ν (рис.4.4), с направляющими косинусами:

l=cos(x,ˆν)= ,      m= cos(y,ˆν)= ,             n= cos(z,ˆν)=

Рассмотрим равновесие полученной элементарной пирамиды. Запишем уравнения равновесия в виде суммы проекций всех сил на координатные оси. Так Σx=0, Σy=0, Σz=0 дают следующую систему уравнений:

С учетом значений направляющих косинусов l, m, n получим значения составляющих полного напряжения р _ν на наклоной площадке с нормалью ν:

                                                      (4.3)

 

Если наклонная площадка принадлежит поверхности тела, то формулы (4.3) по существу связывают поверхностные нагрузки с компонентами тензора напряжений.

Полное напряжение на наклоной площадке, таким образом, можно определить через его составляющие:

                                      (4.4)

Проектируя составляющие полного напряжения р_ν (4.3) на нормаль ν, получим с учетом значений направляющих косинусов и закона парности касательных напряжений (4.2) формулу для определения нормальных напряжений на произвольной наклонной площадке при объемном напряженном состоянии:

                          (4.5)

Теперь можно определить и касательные напряжения на наклонной площадке:

Рассмотрим частный случай плоского напряженного состояния, когда , изображенный на рис.4.5. В этом случае формулы (4.3) примут более простой вид:

,                                                      (4.6)

Направляющие косинусы:

Нормальные напряжения на наклонной площадке с нормалью ν будут равны:

                                               (*)

C учетом зависимостей (4.6) формулы (*) можно представить в окончательном виде:

                            (4.7)

       (4.8)

На заштрихованной площадке, для которой β=90+α, значения нормальных и касательных напряжений будут определяться по формулам:

σ_y' = σ_zsin²α+σ_ycos²α-τ_zysin2α             (4.9)

            (4.10)

 

Cкладывая формулы (4.7) и (4.9) получаем:

                            (4.11)

Формула (4.11) выражает мысль о том, что сумма нормальных напряжений на паре взаимно перпендикулярных площадок есть величина постоянная, а формулы (4.8) и (4.10) ещё раз подтверждают закон парности касательных напряжений.

 

 

Главные площадки и главные напряжения при объёмном и плоском напряженном состоянии

 

При повороте элементарного объёма относительно точки М компоненты тензора напряжений (4.1), как показывают формулы (4.5 – 4.8) , изменяются, т.е., их значения зависят от ориентации элементарного объёма в пространстве. Можно указать такую его ориентацию, при которой на наклонной площадке с внешней нормалью ν касательные напряжения τ_y'z' окажутся равными нулю.

Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие на них, называются главными напряжениями.

Пусть на исходных площадках действуют компоненты тензора напряжений (рис. 4.4). Найдем при этом положение главных площадок и значения главных напряжений на них.

Предположим, что наклонная площадка с нормалью ν является главной с одним нормальным напряжением σ_ν=σ_(i), (i=1_,2,3).

Рассматривая в равновесии выделенную пирамиду, т.е., проектируя все силы на оси координат х, у, z получим

-σ_xdF_{x +} σdFl +τ_yxdF_y+ τ_zxdF_Z = 0

-σ_ydF_{y +} σdFm+τ _xydF_x +τ_zydF_z = 0

-σ_zdF_{z +} σdFn+τ _xzdF_x +τ_yzdF_y = 0:

Разделив последние три равенства на площадь наклонной площадки dF,  получим три однородных линейных алгебраических уравнения относительно направляющих косинусов l, m, n:

 

,

,                                                (4.12)

.

 

Система уравнений не должна иметь нулевое решение в силу того, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице, т. е.:

                                                             (4.13)

 

Тогда определитель системы уравнений (4.12)

                                                           (4.14)

 

Раскрывая определитель системы уравнений (4.14), получим кубическое уравнение относительно нормального напряжения на главной площадке:

σ³–J₁(Т_σ)σ² + J₂(Т_σ)σ – J₃(Т_σ) = 0                                                    (4.15)

 

Коэффициенты при напряжении σ в уравнении (4.15):

J₁(Т_σ)=σ_x +σ_y +σ_z;

J₂(Т_σ)=σ_xσ_y +σ_yσ_z + σ_zσ_x–τ_xy²-τ_yz²-τ_xy²                                                (4.16)

J₃(Т_σ)=σ_xσ_yσ_z +2τ_xyτ_yzτ_zx–σ_xτ_yz²-σ_yτ_zx²- σ_zτ_xy²

называются первым, вторым и третьим инвариантами напряженного состояния, т.е., величинами, не зависящими от преобразования координат относительно вращения элементарного объёма.

Кубическое уравнение (4.15) имеет три действительных корня, значения, которых расположим в такой последовательности: σ₁≥ σ₂ ≥ σ₂. Напряжения σ₁, σ₂ , σ₃ будут главными, значения их не зависят от операции вращения. Поэтому они будут являться инвариантами а, следовательно, формулы (4.16) можно выразить через главные напряжения:

J₁(Т_σ)=σ₁ +σ₂+σ₃

J₂(Т_σ)=σ₁σ₂+σ₂σ₃+σ₃σ₁                                                          (4.17)

J₃(Т_σ)=σ₁σ₂σ₃

 

Рассмотрим частный случай, когда σ_x=τ_xy =τ_zx=0 (рис. 4.5). В таком случае инварианты тензора напряжений (4.16) будут равны:

                                                              (**)

 

Кубическое уравнение (4.15) с учетом (**) преобразуется в квадратное уравнение:

σ² – J₁(Т_σ)σ + J₂(Т_σ)=0                                                          (4.19)

 

Найдем корни квадратного уравнения (4.19):

                                  (4.20)

 

После подстановки значений первого и второго инвариантов (4.18) в формулу (4.20) и выполнения элементарных преобразований получим:

                                    (4.21)

 

Формула (4.20) применяется при определении главных напряжений при плоском напряженном состоянии. В случае если нормальные напряжения σ_y=0, значения главных напряжений

                                                               (4.22)

Теперь определим положение главных площадок.

Рассмотрим равновесие выделенного элемента (рис.4.7), с действующими на него главными напряжениями σ_1,2 и напряжениями на исходных площадках.

Спроектируем все силы на ось у получим:

σ_1,2dFsinα_1,2 +τ_zydF_z–σ_ydF_y=0

Разделив на dFsinα_1,2 последнее равенство, получим:

,                (4.23)

или в частности, когда σ_y=0:

                            (4.24)

Формулы (4.24) и (4.25) используются для определения положения главных площадок при плоском напряженном состоянии.

Положительный угол α_1,2 откладывается от положительного направления оси z против хода часовой стрелки. При этом должно выполняться условие ортогональности главных площадок: сумма модулей углов α₁, α₂ должно равняться 90^об т. е.:

Это указывает на то, что главные площадки, как и исходные площадки взаимно перпендикулярны между собой.

 

---

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 630; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!