Построение эпюры внутренних сил N

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 7Следующая ⇒

1. Первый участок: для этого на расстоянии z₁ рассечём брус и рассмотрим равновесие нижней части

Σ F_iz = 0

- N₁ + F = 0 N₁ = F

а) это справедливо на участке z₁от l до 3l (эль)

б) N₁ направлена от сечения, значит, на этом участке в брусе возникает растяжение (знак +).

2. Второй участок: участок z₂: от 0 до l (эль)

Σ F_iz = 0

N_о – N₂ = 0 (N_о = 2F)

2F– N₂ = 0 N₂ = 2F

Результаты: N _о = 2 F N ₁ = F N ₂ = 2 F

а) N₂ направлена к сечению, значит, на этом участке в брусе возникает сжатие (знак -).

б) построение эпюры (графика) – вправо откладывают положительные значения (растяжение), влево – отрицательные (сжатие).

Анализ построенной эпюры: внутренние силы не зависят от размеров поперечного сечения S, а зависят только от приложенных внешних сил.

Поэтому длину бруса разбивают на такое число участков, сколько сосредоточенных сил на его длине приложено (F₁ и F₂)

- В данном случае было два участка.

Проверка правильности построения эпюры N: там, где приложены внешние силы, должны быть скачки, равные приложенной внешней силе.

Построение эпюры напряжений σ

1. Разбиваем брус на участки

2. Напряжение σ = N\S

а) следовательно, участков на эпюре будет столько, сколько раз меняется поперечное сечение;

б) обращать внимание: при постоянной площади поперечного сечения нормальное напряжение на эпюре «σ» должно оставаться неизменным;

в) с учётом этого на эпюре «σ» будут три различных значения σ:

σ₁ = N₁\S₁= F\ S₁= F\ S (нижняя часть)

σ₂ = N₁\S₂= F\ S₂= F\2S (средняя часть)

σ₃ = N₂\S₂= -2F\ 2S= -F\ S (верхняя часть)

Построение эпюры перемещений U

1. Начинаем от неподвижного сечения (т.е. от сечения О);

2. Формула для расчета перемещения:

U = σ•z\Е (1)

3. Верхний участок: расстояние z₂ : от 0 до l, примем z₂ = l → z₂ = l

U₁ = σ•z₂\Е (1)

σ = - F\ S (с эпюры, верхняя часть)

Подставим значения z₂ = l и σ = - F\ S в формулу (1)

U₁ = - F • l : E = - F • l

S 1 1 S • E перемещение 1-го верхнего участка

4. Средний участок: расстояние z : от 0 до 2 l, → (z – l) = l при z = 2• l

(2• l – l) = l → z = l

U₂ = U₁+σ•z\Е (2)

σ = F\ 2•S (с эпюры, средняя часть)

Подставим значения z и σ в формулу (2)

U₂ = - F • l + F• l : E =

S• E 2• S 1

U₂ = - F • l + F• l = - 2 • F • l + F • l = - F • l

S• E 2• S • E 2• S • E 2 • S • E

(вынесли под общий знаменатель 2•S•Е и выполнили сложение, получили перемещение 2-го среднего участка)

5. Нижний участок: расстояние z₁ : от 0 до 3 l , → (z₁ – l) = l при z = 2• l

(2• l – l) = l → z₁ = l

U₃ = U₁+ U₂+ σ•z ₁ (3)

σ = F\ S (с эпюры, нижняя часть)

Подставим значения z и σ в формулу (3)

т.е. это участок (z₁ – 2• l) = l при z₁ = 3• l

(3• l – 2• l) = l

U₃ = U₁+ U₂+ σ•z₁ (3)

σ = F\ S (с эпюры, нижняя часть)

U₃ = - F • l + F • l : Е =

2• S • E S 1

U₃ = - F • l + F • l =

2• S • E S • Е

U₃ = - F • l + 2 • F • l

2• S • E

U ₃ = F• l

2• S • E - перемещение 3-го нижнего участка

Рассмотрим пример, задавшись значениями

F = 20 кН

S = 50 см² = 0,0005 м²

l = 0,3м

Построение эпюры внутренних сил N

N₁ = F N₂ = 2F

N ₁ = 20 кН

N ₂ = 40 кН

Построение эпюры напряжений σ

σ₁ = F\ S = 20\0,0005 = 400 кН\м²(нижняя часть)

σ₂ = F\2S = 20\2 •0,0005 = 200 кН\м²(средняя часть)

σ₃ = - F\ S = -20\0,0005 = 400 кН\м²(верхняя часть)

Построение эпюры перемещений U

- F• l \ S•Е = - 2 кН • 0,3м \ 0,0005 м² •2•10⁵ МПа = - 0,6 кН • м (перемещение верхнего участка)

- F• l \ 2•S•Е = - 2• 10³•300 \ 2•20•2•10⁵ = -600\ 800 = 0,75 мм (перемещение среднего участка)

+F• l \ 2•S•Е = 1,5 мм (перемещение нижнего участка)

1 МПа = 1000 кН/м2

1 КН = 100 кг

10×Е = 2⁵ 10×МПа = 2⁸ кН/м²

= 160 МПа = 160 000 кН/м]s[²

А = 2 см² = 0,0002 м²

Вариант	S , см²	S₂	F	l	F₂	Материал
1	2	2,5 S	1,5	2	2F	Сталь – для всех, табл. С.66 Вереина
2	2, 2	3 S	2	2,5
3	2,4	3,5 S	2,5	3
4	2,6	4S	3	3,5
5	2,8	4,5 S	3,5	4
6	3	5 S	4	4,5
7	3, 2	2,5 S	4,5	5
8	3,4	3 S	5	2
9	3,6	3,5 S	1,5	2,5
10	3,8	4S	2	3
11	4	4,5 S	2,5	3,5	2F
12	4,2	5 S	3	4
13	4,4	2,5 S	3,5	4,5
14	4,6	3 S	4	5
15	4,8	3,5 S	4,5	2
16	5	4S	5	2,5
17	2	4,5 S	1,5	3
18	2, 2	5 S	2	3,5
19	2,4	2,5 S	2,5	4
20	2,6	3 S	3	4,5
21	2,8	3,5 S	3,5	5
22	3	4S	4	2	2F
23	3, 2	4,5 S	4,5	2,5
24	3,4	5 S	5	3
25	3,6	2,5 S	1,5	3,5
26	3,8	3 S	2	4
27	4	3,5 S	2,5	4,5
28	4,2	4S	3	5
29	4,4	4,5 S	3,5	2
30	4,6	5 S	4	2,5

Построение эпюр внутренних сил, напряжений и перемещений для ступенчатого бруса (данные – по другому)

Вариант	F₁ Н	F₂ Н	S₁ _ММ ²	S₂ _ММ ²	l мм	Е – для всех
1	20	30	40	80	300	2∙10⁵
2	30	40	50	100	200
3	40	80	60	120	400
4	50	90	70	140	500
5	60	100	40	150	600
6	70	50	50	80	300
7	20	60	60	100	200
8	30	30	70	120	400
9	40	40	40	140	500
10	50	80	50	150	600
11	60	90	60	80	300
12	70	100	70	100	200
13	20	50	40	120	400
14	30	60	50	140	500
15	40	30	60	150	600
16	50	40	70	80	300
17	60	80	40	100	200
18	70	90	50	120	400
19	20	100	60	140	500
20	30	50	70	150	600
21	40	60	40	80	300
22	50	30	50	100	200
23	60	40	60	120	400
24	70	80	70	140	500
25	20	90	40	150	600
26	30	100	50	80	300
27	40	50	60	100	200
28	50	60	70	120	400
29	60	30	40	140	500
30	70	40	50	150	600
31	20	80	60	80	300
32	30	90	70	100	200

Решение задач по определению усилий в стержнях, работающих на осевое растяжение и сжатие. Подбор сечений стержней из расчёта на прочность.

Пример1. Подобрать сечение стержня (подвески), поддерживающего брус АВ, как показано на рис. 17. Материал — сталь марки С-235.

Решение

1. Мысленно отбросить стержень, заменяя его действие на брус усилием N. Направим его вверх, полагая, что он уравновешивает нагрузку, направленную вниз.

2. Определить величину усилия N, составив уравнение равновесия Σ М_В = 0, или