Системы дифференциальных уравнений и уравнения высших порядков

Система дифференциальных уравнений m -го порядка имеет вид:

Для решения системы на отрезке [x₀, x_n] должны быть заданы начальные условия: y1(x₀) = y₁⁰, y2(x₀) = y₂⁰ , …, ym(x₀) = y_m⁰. Решением системы m-го порядка будут m функций, удовлетворяющих начальным условиям. Чтобы определить эти функции можно использовать метод Эйлера или Рунге-Кутта (или любой другой метод), применяя их к каждому уравнению последовательно.

Уравнения высших порядков сводятся к системам дифференциальных уравнений путем введения новых переменных.

Пример. Требуется решить уравнение y ² +2 × y ¢ – y + 4 × x = 5 на отрезке [1; 1.3]. Начальные условия: y(1) = 2, y ¢(1) = 0. Шаг h = 0.1. Здесь шаг выбран большим, чтобы было проще продемонстрировать вычисления, сделанные вручную.

Введем новую переменную z = y ¢. Тогда исходное уравнение записывается в виде системы двух уравнений первого порядка:

y¢ = z,

z¢ = –2 × z + y – 4 × x + 5.

Начальные условия: y(1) = 1, z(1) = 0. Решим данную систему методом Эйлера:

y(1.1) = 2 + 0.1×0 = 2,

z(1.1) = 0 + 0.1 × (–2 × 0 + 2 – 4 × 1 + 5) = 0.3,

x = 1 + 0.1 = 1.1,

y(1.2) = 2 + 0.1 × 0.3 = 2.03,

z(1.2) = 0.3 + 0.1 × (–2 × 0.3 + 2 – 4 × 1.1 + 5) = 0.5,

x = 1.1 + 0.1 = 1.2,

y(1.3) = 2.03 + 0.1 × 0.5 = 2.08,

z(1.3) = 0.5 + 0.1 × (–2 × 0.5 + 2.03 – 4 × 1.2 + 5) = 0.623,

x = 1.2 + 0.1 = 1.3.

Решение: x = 1, y = 2, z = 0.

x = 1.1, y = 2, z = 0.3.

x = 1.2, y = 2.03, z = 0.5.

x = 1.3, y = 2.08, z = 0.623.

Решение дифференциальных уравнений в приложении Mathcad

В приложении Mathcad решить дифференциальное уравнение можно, записав формулы выбранного метода. Например, пусть имеется дифференциальное уравнение:

x₀ = 0, y₀ = 1, h = 0,1.

Для решения уравнения методом Эйлера надо на рабочем поле Mathcad записать:

h := 0.1, n := 3, i := 0..n,

x₀ := 0, y₀ := 1,

x_i₊₁ = x_i + h,

y_i₊₁ = y_i + h × (0.2 × y_i + x_i).

Для получения численных значений записываются выражения: x = и y = .

Имеются и встроенные функции для решения дифференциальных уравнений, например встроенная функция rkfixed.

Чтобы решить систему дифференциальных уравнений, приведенную выше, можно записать:

x1 := 1, x2:=1.3, Np:=20,

y₀ := 1, y₁ := 0,

R := rkfixed(y, x1, x2, Np, D).

Здесь x 1, x 2 – левая и правая границы интервала, на котором ищется решение; Np – число точек, в которых определяется решение; y ₀, y ₁ – начальные условия; D ( x , y ) – вектор правых частей системы. Для определения матрицы с решениями надо набрать R =

Можно также построить графики решения для различных значений i, характеризующие зависимость R (1,i ) от R (0, i ) и зависимость R (2, i ) от R (0, i ), т. е. зависимость y от x и зависимость z от x.

Задания для выполнения на компьютере

Лабораторная работа №1.

Вычисление выражений. Построение графиков. Матричные операции

1. Вставить текстовую область «Лабораторная работа №1 студента …». Изменить различные параметры области (шрифт, цвет и т. д.). Для всех последующих заданий записать пояснения, используя различные параметры текста.