Решение систем линейных уравнений в приложениях Mathcad и Excel

Рассмотрим решение систем линейных уравнений в приложении Mathcadматричным методом. Сначала записываются коэффициенты системы в матрицу A. Далее задается вектор B и записывается формула для определения корней

X := A^–1 × B.

Корни вычисляются после набора выражения: X =

В приложении Excelтакже можно использовать матричный метод. Пусть имеется система линейных уравнений третьего порядка. Первоначально необходимо ввести элементы матрицы А, например, в ячейки А1:С3. Затем − вектор В, например, в ячейки Е1:Е3.

Далее следует выделить диапазон ячеек для вычисления корней, например G 1: G 3, и в строке формул набрать:

=МУМНОЖ(МОБР(A1:C3);E1:E3)

После ее набора нажать не одну клавишу ввода, а вместе три клавиши: < Shift > + < Ctrl > + < Enter >. В ячейках G 1: G 3 появятся вычисленные корни системы линейных уравнений.

Решение систем нелинейных уравнений в приложении Mathcad

Системы нелинейных уравнений могут иметь разнообразный вид. Рассмотрим способ решения системы нелинейных уравнений на примере. Пусть имеется система:

В приложении Mathcad надо записать начальные приближения корней и систему уравнений в блоке given:  

x 1 := 1 x2 := 1

Given

5x1 × x2 + 0.2x2 = – 6

– 6 x 1 + 4 x 1 × x 2 = 0.8

При записи системы используется не знак равенства, а знак логического равенства =, который имеется на панели Булево.Затем вводится встроенная функция:  r := find ( x 1, x 2).

Чтобы получить значения корней, надо записать:r =

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ОПТИМИЗАЦИЯ   ПРОЦЕССОВ

Модель одномерного объекта

Пусть в результате проведения эксперимента получена табличная зависимость значений выходного параметра процесса y от значений входного параметра x (рис. 21.1).

Объект

                                   x                           y

 

Рис. 10.1. Одномерный объект

Требуется получить эмпирическую формулу, описывающую зависимость y от x. Решение такой задачи состоит из двух этапов.

На первом этапе выбирается общий вид формулы, исходя из теоретических представлений о характере изучаемого процесса. Это может быть, например, полином m-степени:

y = a0 + a1 × x + a2 × x² +…+ am × x^m.

Формула может содержать тригонометрические, экспоненциальные, логарифмические функции и т. п.

На втором этапе определяются значения параметров a 0, a 1, …, am эмпирической формулы f ( x, a 0, a 1, a 2, …, am ), которые обеспечивали бы соответствие этой формулы экспериментальным данным.

В соответствии с методом наименьших квадратов параметры a 0, a 1, …, am выбираются так, чтобы была минимальной сумма квадратов:

Чтобы найти нужные параметры, следует взять частные производные от правой части по a 0, a 1, …, am и приравнять их к нулю. Полученную систему уравнений можно решить одним из известных методов.

Пример. Пусть требуется определить параметры a 0, a 1, a 2 полинома второй степени:

y = a 0 + a1× x + a2× x².

Надо взять частные производные от выражения

и приравнять их к нулю:

Отсюда

Решив эту систему линейных урвнений можно определить искомые величины a 0, a 1, a 2.

Рассмотрим алгоритм метода наименьших квадратов для вычисления коэффициентов полинома второй степени:

1. Ввод количества опытов n, значений x ₁, x ₂, …, x_n, y ₁, y ₂, …, y_n.

2. Определение коэффициентов системы линейных уравнений:

a_1,2 =     a_1,3 =    a_2,3 =   a_3,3 =

b₁ = , b₂ =     b₃ =

a_1,1 = n, a_2,1 = a_1,2, a_2,2 = a_1,3, a_3,1 = a_1,3, a_3,2 = a_2,3.

3. Решение системы A × Z = B, где A – матрица коэффициентов, B – вектор свободных членов системы, Z – вектор, в котором определяются корни z ₁ = a 0, z ₂ = a 1, z ₃ = a 2.

4. Вывод искомых коэффициентов a 0, a 1, a 2.

5. Определение и вывод разностей d ₁, d ₂, …, d _n.

---

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 256; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!