ЕСТЕСТВЕННЫЙ ГОМОМОРФИЗМ ГРУПП.

Пусть дана для определения мультипликативная группа G и пусть подгруппа А является её нормальным делителем.

Составим для определенности левосторонне разложение группы G по нормальному делителю и рассмотрим фактор группу группы G которая состоит из различных непересекающихся смежных классов.

G/А={xА, yА, zА,…}

Установим гомоморфное отображение группы G на её фактор группу G/А следующим образом:

"xÎG и х®хА, то есть поставим в соответствие смежный класс хА порожденный элементом х.

Обозначим такое отображение через e, тогда e(х)=хА.

Указанное отображение будет отображением «на», так как смежные классы составлялись с помощью каждого элемента из G.

Это отображение будет однозначным, так как смежный класс может быть образом более одного из элемента из G.

Покажем, что e - гомоморфное отображение G на G/А. Возьмем ещё "yÎG, у®уА, e(у)=уА.

Найдем произведение х⋅уÎG, х⋅у®хуА, то есть e(х⋅у)=хуА=хА⋅уА=e(х)⋅e(у).

e - гомоморфизм G на G/А.

Гомоморфное отображение группы G на её фактор группу называют естественным гомоморфизмом.

Возникает вопрос: сколько существует естественных гомоморфизмов группы G на её фактор группы.

Ответ: Столько, сколько существует различных фактор групп. А различных фактор групп существует столько, сколько у группы G есть нормальных делителей.

При естественном гомоморфизме e группы G на G/А ядром гомоморфизма является сам нормальный делитель А.

Теорема о гомоморфизмах групп.

Пусть дана для определенности мультипликативная группа G. Подгруппа А является нормальным делителем группы G. И пусть составлена фактор группа G/А, это значит можно установить естественный гомоморфизм e группы G на фактор группу G/А, причем нормальный делитель А будет ядром этого гомоморфизма kere=А.

Пусть на ряду с группой G дана группа G¢.

Теорема(о гомоморфизмах групп).

Если установлено гомоморфное отображение j группы G на группу G¢ причем нормальный делитель А группы G является ядром этого гомоморфизма, тогда группа G¢ изоморфна фактор группе G/А, причем существует такое изоморфное отображение группы G¢ на фактор группу G/А, что результат последовательного выполнения гомоморфизма j и изоморфизма W совпадает с естественным гомоморфизмом e группы G на её фактор группу G/А.

G G¢

e W

G/А

Доказательство:

1. Пусть дана группа G, а – её нормальный делитель , составим фактор группу G/А и построим естественный гомоморфизм e группы G на фактор группу G/А.

Установим между группой G и группой G¢ гомоморфное отображение j, причем нормальный делитель А будет ядром этого гомоморфизма. Это значит, "аÎА, j(а)=1¢, 1¢ÎG¢. Возьмем "хÎG и пусть j(х)=х¢, х¢ÎG¢. Покажем, что тогда все элементы смежного класса хА отображаются на элемент х¢.

Возьмем "хаÎхА, найдем j(х⋅а)=j(х)⋅j(а)=х¢⋅1¢=х¢.

Покажем, что "zÎG, j(z)=х¢ попадает в смежный класс хА.

Действительно рассмотрим элемент вида ⋅zÎG.

Найдем j( ⋅z)=j( )⋅j(z)= ⋅х¢=1¢.

⇨ ⋅zÎА, обозначим ⋅z= , где ÎА.

Умножим обе части последнего равенства на х слева.

z=x⋅ ⇨zÎхА.

Аналогично, если взять "уÎG, тогда j(у)=у¢, j(уА)=у¢.

2. Покажем, что группа G¢ изоморфна фактор группе G/А. Для этого установим между G¢ и G/А отображение, которое обозначим через W.

"x¢ÎG¢, x¢®хА, хАÎG/А, W(х¢)=хА.

Покажем, что установленное отображение является отображением «на» и взаимно однозначно. Оно является отображением «на», так как смежные классы составлялись для каждого элемента из множества G, оно взаимно однозначно, так как если х¢¹у¢⇨х¹у⇨хА¹уА.

Покажем, что W - изоморфно.

Возьмем "х¢, у¢ÎG¢, тогда W(х¢)=хА, W(у¢)=уА, где хА, уАÎG/А.

Найдем х¢⋅у¢ÎG¢, х¢⋅у¢®хуА.

Найдем W(х¢⋅у¢)=хуА=хА⋅уА=W(х¢)⋅W(у¢), таким образом G¢ изоморфна G/А.

3. Покажем, что результат последовательного выполнения гомоморфизма j и изоморфизма W совпадает с естественным гомоморфизмом e группы G на G/А.

Действительно возьмем "хÎG, тогда e(х)=хА, "х¢ÎG¢, W(х¢)=хА, а так как х¢=j(х), то W(х¢)=W(j(х))=хА.

W(j(х))=e(х).

Таким образом все гомоморфизмы группы G исчерпываются её естественным гомоморфизмом на её фактор группы.

Ч.т.д.

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 449; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!