СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ И ИХ СВОЙСТВА.
Пусть дана для определенности – мультипликативная группа (G,∙), А – подгруппа группы G, А={ 
, 
,…, 
}.
Возьмем "xÎG, и рассмотрим множество элементов вида x∙ 
, i= 
, x∙ ÎG.
Полученное множество элементов называют смежным классом группы G по подгруппе А порожденным элементом x.
Так как x стоит слева, то это левый смежный класс.
Определение.
Левым смежным классом группы G по подгруппе А, порожденным элементом x называют множество элементов вида.
x∙А={ x∙ 
| xÎG, 
ÎА}.
Аналогично определяется правый смежный класс.
А∙x={ ∙ x| xÎG, ÎА}.
Заметим, что если операция в группе сложение, то левый смежный класс порожденный элементом x, имеет вид: x+А={ x+ | xÎG, ÎА}.
Аналогично правый смежный класс: А+x={ +x| xÎG, ÎА}.
СВОЙСТВА СМЕЖНЫХ КЛАССОВ.
Доказательство будем проводить для левых смежных классов, для правых аналогично.
1. Сама подгруппа А является как левым, так и правым смежным классом группы G по подгруппе А.
Доказательство:
Действительно, для доказательства достаточно в качестве порождающего элемента выбрать еÎG, x=е, x∙А=e∙А= А∙е=А.
2. Порождающий элемент x принадлежит смежному классу x∙А.
Доказательство:
Действительно, так как А – подгруппа, значит А – группа, и еÎА, тогда x∙е=xÎА.
3. Любой смежный класс состоит из различных элементов группы G, и число этих элементов равно порядку подгруппы А.
Доказательство:
|
|
|
Пусть составлен смежный класс x∙А={x∙ 
, x∙ 
,…, x∙ 
}.
Предположим противное x∙ =x∙ 
, так как xÎG, то $ 
ÎG.
Умножим обе части последнего равенства на 
слева.
Получим, ∙( x∙ )= 
∙ (x∙ ),
( ∙x)∙ =( ∙ x)∙ ,
1∙ =1∙ , = .
Пришли к противоречию, так как , ÎА, а в группе все элементы различны между собой.
Противоречие получено в результате неверного предположения.
4. Любой левый смежный класс группы G по подгруппе А, вполне определяется любым из своих элементов, т.е. если:
yÎx⋅A⇨y⋅A=x⋅A.
Доказательство проведем методом включения:
Пусть yÎx⋅A⇨y=x⋅ , ÎА, возьмем "uÎy⋅A⇨u=y⋅ , ÎА, так как
y= x⋅ ,то u=y⋅ =(x⋅ )⋅ 
=x⋅( ⋅ ), где ⋅ ÎА.
u=x⋅( ⋅ )⇨uÎx⋅A, y⋅AÍx⋅A.
Пусть yÎx⋅A⇨y=x⋅ , ÎА.
Возьмем "vÎx⋅A⇨v= x⋅ 
, где ÎА.
Рассмотрим y= x⋅ , так как ÎА, А – группа, то $ 
ÎА, умножим обе части последнего равенства на 
справа, получим
y⋅ = (x⋅ )⋅ 
, y⋅ =x.
Получим, что x= y⋅ , тогда v= x⋅ =(y⋅ )⋅ =y⋅( ⋅ ), где 
⋅ 
ÎА.
v=y⋅( ⋅ )⇨vÎy⋅A, так как выполнились оба включения, то y⋅A= x⋅A.
Ч.т.д.
5. Различные смежные классы не пересекаются между собой.
|
|
|
Доказательство: (метод от противного)
Пусть 
A и 
A различные смежные классы и пусть AÇ 
A¹Æ и пусть zÎ 
AÇ A⇨ zÎ A и zÎ A, так как zÎ A⇨z⋅А= A ⇨ A= A.
Если два смежных класса имеют хотя бы один общий элемент, то они совпадают, в противном случае классы не пересекаются.
6. Так как смежные классы составлялись с помощью каждого элемента группы G и совпавшие классы считают за один класс, то объединение различных, то есть не пересекающихся левых смежных классов, составляет всю группу G, аналогично для правых смежных классов.
Доказательство: G= 
AÈ 
AÈ… - левосторонне разложение группы G по подгруппе А.
Если количество различных между собой классов различно, то левосторонне разложение имеет вид:
G= АÈ АÈ…È А, тогда индекс j – индекс разложения.
Аналогично, G=А ÈА È…ÈА – правосторонние смежные классы.
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 578; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!