Функциональные ряды.
Пример: x+x в квадрате/2+ x в кубе/3+х в 4-й степени/4+….и т.д.=
Sinx+sin2x+sin3x+…=
- + - + -….=
2n-четные
Функциональные ряды- последовательность, функций вместе с фиксированным порядком их суммирования.
Обозначение: (x)= (x)+ (x)+ (x)+ и т.д.
Пример: Рассмотрим ряд
А)Если подставить в этот ряд х=1 получим:
=1+ + + и т.д.- гармонический ряд расходится потому что:
-сумма геометр.прогрессии, <1-сходится, >=1-расходится
-огр альфа больше 1-сходится, альфа меньше или равно 1-расходится
Б) Если х=-1, то =-1+ - + ряд знакочередующийся
убывает, стремится к 0, при n, стремящемся к бесконечности, сл-но это ряд Лейбница, поэтому сходится
Если будет + - то расходится
Данный ряд Сходится условно, т.к. сумма эта большая Е -расходится
Пусть х= , тогда * = = + + ……
< - сходится, т.к. из сходимости большего следует сход-ть меньшего. Тогда исследуемый ряд сходится так же по 1 признаку сравнения.
Х=2, тогда = 2+ + + +…
стремится к бесконечности при n стремящемся к 0. Не выполняется необходимый признак сходимости ряда, следовательно ряд расходится.
Примечание: подставляем в функциональный ряд (x) конкретные значения аргумента от х= будем получать конкретные числовые ряды, которые могут быть знакоположительными и знакопеременными. Первые могут как сходиться так и расходиться, вторые же - могут сходиться как условно, так и абсолютно.
Определение: Множество всех точек (значениях х), в которых сходится функциональный ряд от х называется ОБЛАСТЬЮ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА.
|
|
Х-область сходимости функционального ряда.
Алгоритм исследования функционального ряда на сходимость:
1. Фиксируем х. Рассматриваем ряд (x) как числовой.
2. Поиск условия сходимости. Рассматривается ряд, т.е. исследуем на сходимость, используя признаки сходимости знакоположительных рядов (Даламбер, Коши, признаки сходимости)
3. Определение интервала сходимости и исследование поведения ряда на границах интервала.
4. Запись области сходимости с учетом граничных точек.
Пример: исследуем на сходимость
1)Пусть х - фиксированное число, при подстановке этого числа, функциональный ряд превратиться в числовой. Очевидно, что при различных х ряд может оказаться и знакополож. И знакопеременным. Поэтому исследуем его сначала на абсолютную сходимость.
2) = знакоположительный, если >1, то =
След-но ряд расходится, т.к. не выполняется необходимый признак сходимости ряда.
Если модуль по х меньше 1, то сравниваем меньше чем как сумма гометр.прогрессии модуль g меньше 1.
По 1-му признаку сравнения из сходимости меньшего следует сходимость большего, значит ряд сходится абсолютно.
3) Интервал сходимости в точках от -1 до 1 ряд сходиться абсолютно. От бесконечности до -1 и от 1 до бесконечности ряд расходится.
|
|
Исследуем поведение ряда на границах интервала сходимости
Х=1 сумма вверху бесконечности внизу n=1 1/n-расходится, гармонический ряд
Х=-1 такая же сумма (-1) в степени n/n-ряд Лейбница, сходится. По модулю этот ряд будет расходится, а сл-но сумма по модулю -1 сходится условно
В итоге область сходимости ряда от квадратн.скобка -1 до 1).
12.Степенной ряд, свойства степенных рядов. Место для формулы.
Степенной ряд называют ряд вида a n ( 𝞴-𝞴0 ) n г де 0= const, (an) – числовая последовательность.
Пример: 𝞴 n / n! = 1+ x + x2/ 2! + x3/ 3!
0!=1 1!=1
(𝞴-2)n / n2 = x-2 + (x-2)2/ 4 +(x-2)3/ 0+
Центр и радиус сходимости степенного ряда.
Прим: Интервал сходимости степенного ряда всегда симметричен относительно точки 𝞴0 называют центром степенного ряда.
𝞴0
𝞴0 – центр степенного ряда
R –радиус интервала сходимости
Вывод формулы R сходимости степенного ряда.
1шаг: Рассмотрим ряд с нулевым центром anxn
Исследуем этот ряд на абсолютную сходимость по признаку Даламбера
d= |un+1()/ un(𝞴)|= an+1 𝞴N+1/anxn = |an+1*xn*x/ an xn| = |x| |an+1/ an |
Условия сходимости: d < 1
|x| |an+1/ an |< 1
|x|< |an/ an+1| =>R
|
|
Интервал сходимости.
- R 0 R
Где R = |an+1/ an |
2 шаг: Рассмотрим произвольную центром 𝞴0
an (𝞴-𝞴0)n
Обозначим t= (𝞴-𝞴0)n , тогда an (x-x0)n= antn этот ряд сходится на интервале |t| <R, где R вычисляем по формуле (*) (R> |an/ an+1|)
-R <t<R
-R < 𝞴- x0<R
𝞴0 – R< 𝞴<R+ 𝞴0 или | x-x0|<R
Вывод: интервал сходимости степенного ряда представляет собой окрестность точки 𝞴0 радиуса R где R вычисляется по формулам
(*) R= |an/ an+1| - следствие признака Даламбера
(*) R= | 1/ |an| - следствие признака Каши
Дата добавления: 2015-12-21; просмотров: 17; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!