Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда.
Числовой ряд содержащий бесконечное множество отрицательных и бесконечное множество положительных членов называется знакопеременной.
Пр: 1-1/2+1/3-1/4-1/5+1/6-1/7-1/8-1/9+1/10 – знакочеред.
Частным случае знакопеременного ряда, т.е ряд в котором последоват.члены имеют противоположные снаки.
ПР: 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/4-1/8+….
Ряд ∑аn называется знакочередующим, если для любого номера произведение двух соседних слогаемых<0.
Примечание: Свойство числовых рядов (бесконечных сумм)могут отличаться от свойств конечных сумм.
Пр: 
Переставим и сгруппируем слагаемые этого ряда
=(1-1/2-1/4)+(1/3-1/6-1/8)+(1/5-1/10-1/12)+…-
В каждой скобке выполнили только 1 вычит.
1/2-1/4+1/6-1/8+1/10-1/12+…=1/2(1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+..)+..
Парадокс: при перестановки слагаемых сумма ряда уменьшилась в двое.
Теорема Лейбница. (достаточный признак сходимости знакочеред.ряда)
Если члены знакочеред.ряда убывают по абсолютной велич и стремятся к 0, т о ряд сходится
∑ аn 
n аn* аn+1<0
Сход n |аn+1|< |аn| (знаки черед.)
Ряды удовлетворяют условие теор. Лейбница и назыв.рядами лейбница (всегда сходятся)
Пр:1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7 – ряд. Лейбн.
Рассмотрим частичн. суммы данного ряда мы получим посл. стягивающихся отрезков, длины которых стремятся к бесконечности. Эти отрезки имеют единственную общую точку, координаты этой точки и будет значением суммы ряда (S)
Абсолютная и условная сходимость знака переменных рядов.
Числовой ряд сходится абсолютно, если сходится ряд составленный из модулей его членов.
|
|
|
Пр: 
α=1→cходится
ОГР сходится α>1
Расходится α<=1
Вывод: 
Числовой ряд сходится условно, если он сходится, но не абсолютно, т.е
усл, если 1)
2): 
- расходится.
Приме:
= 1-1/2+1/3-1/4+1/5- сходится, т.к. ряд Лейбница
=1+1/2+1/3+1/4+1/5= 
- расходится
Вывод: = сходится, т.к. ряд Лейбница
- расходится, т.к.гармонический рядю, следовательно –сход.условно
Примечание: Ряд Лейбница могут сходится как условно, так и абсолютно,т.е. признак Лейбница не позволяет определить характер сходимости.
Свойства абсолютн.сходимости рядов.
1) Если ряд сходится абсолютно, то он сходится. Сходится , то сходится.
2) При любой перестановке слагаемых сумма абсолютной сходимости ряда не меняется.
3) Если ряд 
сходится абсолютно и сходится к числу А, то ряд (R* 
), так же сходится абсолютно и сходится к числу R*A, R€R
4) Eсли и 
сходятся абсолютно, причем сходится к A, cходится к B, то 
следовательно будет сходимость абсолютная и сходится к А+В.
5) Eсли и сходятся абсолютно, причем сходится к A, cходится к B, то ряд составленный из всевозм. произведений 
* 
, где i=1;2.. j=1;7…
также сходится абсолютно, причем сходится к числу A*B.
Свойство условно сход.ряда.
|
|
|
(ТЕОРЕМА РИМАНА)
Если ряд сходится условно, то в результате перестановки его членов можно получить ряд имеющий любую наперед заданную сумму, а так же расходящийся ряд.
Исследование знака переменных рядов на сходимость.
– знакопеременный
1) Проверить необходимый признак сходимости ряда 
выполняется невыполняется (значит ряд расх.)
2) Проверяем абсолютную сходимость ряда.
-сходится
расходится сходится (сходимость абсолютн)
3) Проверим условную сходимость для проверки будем использовать 2 признака
- признак Лейбница
∑ аn n аn* аn+1<0
Сход (только знакочеред) n |аn+1|< |аn| 
- признак Абеля
- ∑ аn – сходится
сходится
-(bn) –огранич (для любых численных рядов)
Пример: Исследование на сходимость
– знакопеременный
arctng n -? при n→∞
(arctng n)
arctng n → 
Следовательно последовательность (arctng n) является возрастающей, ограничена сверху и при n→∞, arctng n →
1) Необходимый признак
(ОГР/б.б=б.м)
2)Абс.сход.
= 
Сравним с рядом 
расходится 
= 
( 
)= 
(arctgn)= 
неравный 0
Ряды ведут себя одинаково, СЛЕДОВАТЕЛЬНО 
3) Условия сходимости
- ….. следовательно и ОГР 
…. Ряд сходится, следовательно р.Лейбница и
Сх.Абеля
|
|
|
данный ряд сходится условно, так как он сходится, но не абсолютно.
Дата добавления: 2015-12-21; просмотров: 16; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!