Сумма геометрической прогрессии.

Пример №1: 1,2,4,8,16,32,64….b₁=1 q=2

Пример №2: 1⅟₂; ⅟₄; ⅟₈ ; ⅟₃₂ ….. b₁=1 q=⅟₂

B_n=b_1*q^n-1

S_n=b₁(1-qⁿ)∕1-q=-(1-2⁶)=2⁶-1 (сумма первых членов геометрической прогрессии)

1) S_n=1(1-2)ⁿ∕1-2=-(1-2ⁿ)=2ⁿ-1

2)S_n=1(1-1∕2ⁿ)∕1-1∕2=2(1-1∕2ⁿ)

S_n= (2ⁿ-1)=∞

S_n= 2(1-1∕2ⁿ)=2

Теорема: если знаменатель геометрической прогрессии по модулю меньше единицы, то при n стремящейся к бесконечности сумма этой прогрессии сходится к числу S_n=b ₁ ∕1-q

S= b₁∕1-q

Доказательство: S_n= b₁+b₂….. b_n= b₁(1-qⁿ) ∕ 1-q

S= S_n= b₁(1-qⁿ) ∕ 1-q = b₁∕-q (1-qⁿ)

1)Если ≥1, то при n →∞ qⁿ – б/б, тогда b₁∕-q (1-qⁿ) =∞

2)Если ≤1, то при n →∞ qⁿ– б/ь, тогда b₁∕-q (1-qⁿ)= b₁∕ 1-q

Гармонический ряд.

Гармоническим называется ряд вида:

∑1/n = 1+1/2+1/3+…

Теорема.

Гармонический ряд расходится.

Доказательство:

∑1/n = 1+1/2+[1/3+1/4]+[1/5+1/6+1/7+1/8]+[1/9+… > 1+1/2+[1/4+1/4]+[1/8+1/8+1/8+1/8]+[1/16+… = 1+1/2+1/2+…

Аn →0 при n →∞, не выполняется необходимый признак сходимости ряда, т.к. меньший ряд расходится, так и больший (гармонический) тоже расходится по 1 признаку сравнения.

Обобщенным гармоническим рядом называется ряд вида ∑1/n² , α€R(любое число)

С помощью интегрального призрака можно доказать, что обобщенный гармонический ряд (ОГР) сходится при α>1 и расходится при α≤1.

 

---

Дата добавления: 2015-12-21; просмотров: 16; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!