Необходимый признак сходимости ряда.

Теорема: Если ряд сходится, то n-ый член ряда является бесконечно малой величиной.

В краткой форме: если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.

∑An сходится, то limAn = 0

Доказательство: По условию ∑An сходится, т.е. lim Sn = S

Sn = a₁+a₂+ …+a_n-1+an → S при n →∞.

Sn-1 = a₁+a₂+ …+a_n-1 → S при n →∞.

An = Sn – Sn-1

lim An = lim (Sn – Sn-1) = lim Sn – lim Sn-1 = S-S = 0, что и требовалось доказать.

По условию ряд сходится, т.е. существует конечный предел S_n= S. Тогда имеет место также равенство S_n-1 = S, так как при n→∞ и (n-1) →∞. Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем S_n - S_n-1 = (S_n - S_n-1)=0, что и требовалось доказать.

 

Примечание: Признак является необходимым, но не достаточным для исследования ряда на сходимость, т.е. если а_n не стремится к нулю при n→∞, то ряд расходится, а если а_n →0, то сходимость ряда нам не известна и её надо исследовать с помощью достаточных признаков.

---

Дата добавления: 2015-12-21; просмотров: 19; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!