Частные производные ФНП

Рассмотрим линию пересечения поверхности с плоскостью , параллельной плоскости . Так как в этой плоскости сохраняет постоянное значение, то вдоль кривой будет меняться только в зависимости от изменения . Дадим независимой переменной приращение , тогда получит приращение, которое называется частным приращением по и обозначают через , так что

.

Наконец, придав аргументу приращение , а аргументу приращение , получим для новое приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой

.

На рисунке изображено отрезком .

Надо отметить, что, вообще говоря, полное приращение не равно сумме частных приращений, т.е. .

Определение1 Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения по к приращению при стремлении к нулю. Обозначается: . Тогда

. (1)

Определение 2 Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения по к приращению при стремлении к нулю. Обозначается: . Тогда

. (2)

 

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно или считаются постоянной величиной).

Пример 2.1. Для данной функции требуется найти частные производные и . Найти значения частных производных в точке :

.

Решение. Находим частные производные в общем виде:

, .

Находим значения частных производных в точке :

, .

,

 

Полный дифференциал функции нескольких переменных. Инвариантность формы первого дифференциала.

Пусть функция z = f(x, y) диф-ма в т. P₀(x₀, y₀)

Опр. 1 Полным дифференциалом ф-и z = f(x, y) в т. Р₀, соответствующ. приращениям независимых переменных, называется главная часть приращения этой функции, линейная относительно .

₀, ₀

, то P₀∙ P₀∙

∙ ∙ (1)

U=f(x,y,z)

dU= ;

Z=f(x₁...x_n)

dz= ∙d

В силу равенства

(2)

Пр. 1 Найти дифференциал z=

Пр. 2 Вычислить (1,02)^2,99

f(x,y) =

x₀=1, y₀=3

f ` _x(x,y)=y∙

(1,02)^2,99 1³+3∙1²∙0,02+1³∙ ∙(-0,01)=1+0,06=1,06

Инвариантность формы первого дифференциала

Пусть

: = +

Свойства инвариантности

1.

2.

3.

 

---

Дата добавления: 2015-12-18; просмотров: 14; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

---

Мы поможем в написании ваших работ!