Множество значений.
Предложение. 
Доказательство. Пусть п четно. Поскольку все значения функции положительны, то остается доказать, что любое число 
является значением функции f. Пусть – произвольное действительное число. Выше доказано (см. §7, п. 8), что множеством значений функции 
является 
. Следовательно, существует точка 
, для которой 
. Тогда 
, т. е. 
. Следовательно, 
.
При нечетном п рассуждения аналогичны.
Ограниченность.
Так как множество значений функции 
(
) является неограниченным сверху числовым множеством, то функция f неограниченна сверху при любом п, и, следовательно, неограниченна. Кроме того, 
, если п четно, – ограниченное снизу множество и 
, если п нечетно, – неограниченное снизу множество. Следовательно, функция f ограниченна снизу при четном п и неограниченна снизу при нечетном п.
9. График функции. , 
.
|
При п =1 получаемфункцию 
, которая называется обратной пропорциональностью. Графиком этой функции является гипербола.
§ 9. Степенная функцияс показателем 
(, n > 1)
Рассмотрим степенную функцию 
с натуральным показателем. п > 1.
1. Пусть п нечетно. В этом случае функция строго возрастает на R, следовательно, обратима.
2. Пусть п четно. В этом случае функция не обратима. Рассмотрим ее сужение на множество 
. Функция на множестве строго возрастает, следовательно, ее сужение на это множество является обратимой функцией.
Определение. Степенной функцией с показателем (, n > 1) называется обратная функция для степенной функции , если п нечетно, и обратная функция для сужения функции на множество , если п четно.
|
|
|
Свойства функции 
()
Свойства степенной функции с показателем являются следствиями свойств степенной функции . В доказательствах мы не будем исключать случай п =1.
1. Область определения. При нечетном п областью определения функции является множество значений функции . При четном п ее областью определения является образ множества при отображении . Таким образом, 
2. Множество значений. 
По определению обратной функции множеством значений функции является область определения функции .
Ограниченность.
Так как множество значений функции является неограниченным сверху числовым множеством, то функция f неограниченна сверху при любом п, и, следовательно, неограниченна. Кроме того, 
, если п четно, – ограниченное снизу множество и , если п нечетно, – неограниченное снизу множество. Следовательно, функция f ограниченна снизу при четном п и неограниченна снизу при нечетном п.
4. Непрерывность. Функции при любом натуральном п непрерывна на своей области определения как обратная для непрерывной функции.
|
|
|
5. Четность, нечетность.
Предложение 8. Функция является нечетной при нечетном п и не является ни четной, ни нечетной при четном п.
Доказательство. Пусть п нечетно. В этом случае область определения функции 
– симметричное относительно нуля множество. Проверим выполнимость равенства 
. Пусть 
– произвольная точка и 
– значение функции в этой точке. Тогда 
. Так как степенная функция с натуральным нечетным показателем п нечетна и всюду определена, то 
. Отсюда получаем 
и в результате имеем: 
. Следовательно, функция является нечетной при нечетном п.
Если п четно, то функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку ее область определения Df= не является симметричным относительно нуля множеством.
6. Монотонность. Функция при любом натуральном п является обратной для строго возрастающей функции, следовательно, строго возрастает на своей области определения.
7. Неравенства, связанные со свойствами функции .
Предложение. (1) 
на 
и 
на 
при любом .
(2) Если 
, то 
на и 
на при любых 
.
(3) Если 
, то 
на и 
на .
Доказательство. (1).Поскольку функция строго возрастает на , то неравенство x > 1 влечет 
. Аналогично, из неравенства 
следует .
(2). Пусть . Предположим 
на . Возведя обе части этого неравенства в степень пт, получаем 
– противоречие со свойствами степенной функции с натуральным показателем.
|
|
|
(3). Для доказательства достаточно положить т= 1в утверждении (2).
8. График функции. При построении пользуемся тем, что графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой 
.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 21; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!