Уравнивание поправок направлений

       Выразим ошибки направлений через ошибки координат. На рисунке ориентирующий угол, т.е. угол между направлением ix и направлением i0 нулевого диаметра лимба

 ,

где α _ik – дирекционный угол направления ik, N_ik – уравненное значение этого направления. Принимая

,

находим

,                                              (1)

где , N’ _ik – измеренное значение направления.

       Продифференцировав выражение  по всем переменным, после перехода к конечным приращениям получим

 .

       Учитывая  , имеем

 , (2)

или

.

       Подставляя полученное выражение в формулу (1), находим

 ,                        (3)

где δ z_i – поправка в ориентирующий угол z₀  на i-том пункте, ξ _i , η _i ,  ξ _k , η _k – поправки в дециметрах в приближенные координаты x_i⁰ , y_i⁰ ; x_k⁰ , y_k⁰ пунктов i и k, т.е. ξ = 10δ x , η = δ y ; δ x, δ y – поправки в метрах.

       Коэффициенты a_ik , b_ik определяют по формулам

                            (4)

       Для обратного направления k- i

 ,                         (5)

причем a_ik = - a_ki , b_ik = - b_ki , что служит контролем вычислений. Для исходных пунктов поправки ξ  и  η равны нулю.

       Следует заметить, что ошибки, допущенные при составлении уравнений поправок, обнаруживаются только в конце вычислений, поэтому определение a_ik , b_ik , l_ik нужно контролировать.

 

Уравнение поправок дирекционных углов

       От азимутов Лапласа переходят к дирекционным углам направлений, в которые определяют поправки из уравнивания геодезической сети. Уравнения поправок дирекционных углов отличаются от поправок направлений отсутствием поправки –δz₀  в ориентирующий угол.

 

Уравнения поправок измеренных сторон

       В геодезической сети могут быть измерены стороны, в которые после редуцирования на плоскость проекции Гаусса-Крюгера определяют с учетом весов измерений поправки из уравнивания. Длину стороны s_ik можно определить дважды:

,                                           (6)

где s’ _ik – измеренная и редуцированная на плоскость длина стороны; v_ik – поправка из уравнивания; s⁰ _ik – длина той же стороны, определенная по приближенным координатам пунктов; δ s_ik – поправка в ее значение из уравнивания.

       Из формулы (6) находим исходное уравнение поправок измеренных сторон

,                                     (7)

где  .

Продифференцировав выражение  по всем переменным, имеем

 .

       Разделив обе части равенства на s⁰ _ik , после перехода к конечным приращениям находим

 .

       После подстановки этого значения в (6), принимая

 ,

(ξ , η – в дм, δ x , δ y – в м), получим

.                            (8)

 

Составление редуцированных нормальных уравнений

       Учитывая, что на каждом пункте сумма поправок v_ik в измеренные направления равна нулю ([v] = 0), можно составить редуцированные нормальные уравнения, в которых поправки δ z₀ в ориентирующие углы z₀ исключены. При этом общее число нормальных уравнений уменьшается на число пунктов, на которых измерены направления.

       Положим, что на пункте I измерено n направлений, им соответствуют уравнения поправок

Примем  и т.д. С учетом этих обозначений

                         (9)

       Переходя к нормальным уравнениям, получим

                      (10)

       Из первого уравнения, учитывая [v] = [l] = 0 , имеем

.                (11)

       Подставляя полученное значение δ z₀ в систему (9), получим части редуцированных нормальных уравнений на данном пункте:

в которых δ z₀ исключены.

       Общую систему редуцированных нормальных уравнений в сети получают суммированием коэффициентов при одноименных неизвестных поправках в уравнения по станциям. Из решения этой общей системы уравнений находят поправки ξ _i и η _i  к приближенным координатам определяемых пунктов. Число поправок, как и общее число редуцированных нормальных уравнений, равно удвоенному числу определяемых пунктов.

       После определения ξ _i и η _i  по формуле (11) вычисляют δ z₀ и по формуле (8) – поправки v_ik . На каждом пункте Σv = 0 , что является контролем правильности вычислений. Уравненные координаты

 .

       Кроме того, x  и y можно определить из решения треугольников, в которых используют уравненные направления.

 

Оценка точности

 

       С.к.о. единицы веса определяют по формуле

,                                     (12)

где v – поправки из уравнивания в измеренные с весом р величины; r – число избыточных измерений в сети; D – число всех направлений в сети; k – число определяемых пунктов; n – число пунктов, на которых выполнены наблюдения.

       Для оценки точности уравненных значений координат пункта k находят p_x и p_y в общей системе уравнений, в качестве последнего и предпоследнего неизвестного ставят поправки η _k  и ξ _k . Вес последнего неизвестного равен коэффициенту последнего преобразованного нормального уравнения эквивалентной системы (в схеме решения нормальных уравнений). Вес

,                                             (13)

где С и А – квадратичные коэффициенты последнего и предпоследнего преобразованных нормальных уравнений; В – коэффициент при η _k в предпоследнем преобразованном уравнении.

.

 

 

---

Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 149; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!