Сравнение двух дисперсий нормальных



Проверка статистических гипотез

 

Статистической гипотезой Н называется предположение относительно параметров или вида распределения случайной величины Х. Если распределение случайной величины Х известно и по выборке наблюдений необходимо проверить предположение о значении параметров этого распределения, то такие гипотезы называются параметрическими.

Проверяемая гипотеза называется нулевой гипотезой Н0. Вместе с гипотезой Н0 рассматривают одну из альтернативных (конкурирующих) гипотез Н1. Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу Н0, называется критерием. Статистика Z, на основании которой принимается решение об истинности гипотезы Н0, называют статистикой критерия. При проверке параметрической гипотезы Н0: q = q0 в качестве статистики критерия обычно выбирают ту же статистику, что и для оценки параметра q.

Перед анализом выборки назначается некоторая малая вероятность α, называемая уровнем значимости. Пусть V – множество значений статистики Z, а Vk – такое подмножество, что при условии истинности гипотезы Н0, вероятность попадания статистики критерия в Vk равна α:

.

Пусть zв – выборочноезначение статистики Z, вычисленное по выборке. Формулировка критерия: отклонить гипотезу Н0, если (попадание в критическую область); принять гипотезу Н0, если ( попадание в область принятия гипотезы).

Уровень значимости α определяет размер критической области Vk. Положение критической области на множестве значений статистики Z зависит от формулировки альтернативной гипотезы Н1. Если проверяется гипотеза Н0: q = q0, а альтернативная гипотеза Н1: q > q0 (q < q0), то критическая область размещается на правом (левом) хвосте плотности распределения статистики Z, то есть имеет вид неравенства:  ( ), где  и  - квантили распределения статистики Z порядка 1-α и α, вычисленные при условии истинности Н0. В этом случае критерий называется односторонним, соответственно право- и левосторонним. Если альтернативная гипотеза Н1: q ≠ q0, критическая область размещается на обоих хвостах плотности распределения Z, то есть определяется неравенствами:  и . В этом

Размещение критической области при различных альтернативных гипотезах

случае критерий называется двусторонним.

 

Таким образом, проверка статистической гипотезы при помощи критерия значимости состоит в следующем:

1. Сформулировать гипотезы Н0 и Н1.

2. Назначить уровень значимости α.

3. Выбрать статистику Z критерия для проверки Н0.

4. Определить выборочное распределение статистики Z критерия при условии, что верна Н0.

5. Определить критическую область Vk.

6. По выборке вычислить выборочное значение статистики zв критерия.

7. Принять статистическое решение: если , отклонить Н0; если , принять Н0, то есть Н0 не противоречит результатам наблюдений.

 

 

Сравнение двух дисперсий нормальных

Генеральных совокупностей

1. При заданном уровне значимости α по двум выборкам объемов n1 и n1 проверить нулевую гипотезу H0 : D( X) = D( Y) о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе H1 : D( X) > D( Y). В качестве критерия выбирается отношение большей дисперсии к меньшей ~F( n1 - 1, n2 - 1), имеющей распределение Фишера с n1 - 1 и n2 - 1  степенями свободы (n1 – объем выборки с большей дисперсией).

 Надо вычислить выборочное (наблюдаемое) значение критерия (отношение большей дисперсии к меньшей) . Критическая область – односторонняя и определяется по правилу: , где  - квантиль распределения Фишера с n1 - 1 и n2 - 1  степенями свободы порядка 1-α. Введем критическое число , отделяющее критическую область от области принятия гипотезы. По заданному уровню значимости α и числамстепеней свободы n1 - 1 и
n2 - 1  (n1 – объем выборки с большей дисперсией) найти критическую точку с помощью встроенной функции

Fкр = FРАСПОБР(Вероятность, Степени_свободы1, Степени_свободы2).

Параметры Вероятность = α, Степени_свободы1 = n1 - 1, Степени_свободы2 = n2 – 1.

Если Fнабл < Fкр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если Fнабл > Fкр – нулевая гипотеза отвергается.

 

2. Пусть при проверке той же нулевой гипотезы
H0 : D( X)= D( Y) используется конкурирующая гипотеза
H1 : D( X) ≠ D( Y). Используем тот же статистический критерий ~F( n1 - 1, n2 - 1). Критическая область - двусторонняя, но так как при формировании критерия F > 1 по определению, то она определяется по правилу . Критическое число  определяется с помощью встроенной функции

Fкр = FРАСПОБР(Вероятность, Степени_свободы1, Степени_свободы2).

Параметры Вероятность= α/2, Степени_свободы1= n1 - 1, Степени_свободы2= n2 – 1.

Если Fнабл < Fкр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если Fнабл > Fкр – нулевая гипотеза отвергается.

 

 


Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 40; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ