Центральная предельная теорема

Одно из наиболее важных применений нормального распределения относится к распределению средних значений. Средние значения выборок заданного разме­ра, взятые таким образом, что каждый элемент выборки отобран независимо от других, дадут распределение, которое близко к нормальному Это чрезвычайно важный факт, так как он означает, что вы можете получить параметры действи­тельно случайного процесса из средних значений, рассчитанных на основе выбо­рочных данных.

 

 

Рисунок 3‑6   Экспоненциальное распределение и нормальное распределение

Таким образом, мы можем сформулировать, что если N случайных выборок извлека­ются из совокупности всех данных, тогда суммы (или средние значения) выборок бу­дут приблизительно нормально распределяться независимо от распределения сово­купности, из которой взяты эти выборки. Близость к нормальному распределению увеличивается, когда N (число выборок) возрастает. В качестве примера рассмот­рим распределение чисел от 1 до 100. Это равномерное распределение, где все эле­менты (в данном случае числа) встречаются только раз. Например, число 82 встречается один раз, так же как и 19, и так далее. Возьмем выборку из пяти эле­ментов и среднее значение этих пяти элементов (мы можем также взять их сумму). Теперь поместим полученные пять элементов обратно, возьмем другую выборку и рассчитаем среднее. Если мы будем продолжать этот процесс дальше, то увидим, что полученные средние нормально распределяются, даже если совокупность, из которой они взяты, распределена равномерно.

Все вышесказанное верно независимо от того, как распределена совокупность данных! Центральная предельная теорема позволяет нам обращаться с распреде­лением средних значений выборок, как с нормальным, без необходимости знать распределение совокупности. Это чрезвычайно удобный факт для многих облас­тей исследований. Если совокупность нормально распределена, то распределение средних значений выборок будет точно (а не приблизительно) нормальным. Кроме того, скорость, с которой распределение средних значений выборок прибли­жается к нормальному при повышении N, зависит от того, насколько близко со­вокупность находится к нормальному распределению. Общее практическое пра­вило следующее: если совокупность имеет унимодальное (одновершинное) распре­деление (любой тип распределения, где есть концентрация частоты вокруг одной моды и уменьшение частот с любой стороны моды, например, выпуклость) или равномерно распределяется, то можно использовать N = 20 (это считается доста­точным) и N = 10 (это считается достаточным с большой вероятностью). Однако если совокупность распределена экспоненциально (рисунок 3‑6), тогда может потребоваться и N = 100.

Центральная предельная теорема, этот поразительно простой и красивый факт, подтверждает важность нормального распределения.

Работа с нормальным распределением

При использовании нормального распределения часто требуется найти долю площади под кривой распределения в данной точке на кривой. На математичес­ком языке это называется интегралом функции, задающей кривую. Таким же об­разом функция, которая задает кривую, является производной площади под кри­вой. Если у нас есть функция N(X), которая представляет процент площади под кривой в точке X, мы можем говорить, что производная этой функции N'(X) явля­ется функцией самой кривой в точке X.

Мы начнем с формулы самой кривой N' (X). Данная функция выглядит следу­ющим образом:

 

 

где U = среднее значение данных;

S =стандартное отклонение данных;

Х = наблюдаемая точка данных;

ЕХР () = экспоненциальная функция.

Эта формула даст нам значение для оси Y, или высоту кривой, при любом данном значении X.

Часто мы будем говорить о точке на кривой, ссылаясь на ее координату X, и бу­дем смотреть, на сколько стандартных отклонений она удалена от среднего. Таким образом, точка данных, которая удалена на одно стандартное отклонение от средне­го, считается смещенной на одну стандартную единицу (standard units) от среднего.

 

 

Рисунок 3‑ 7 Функция плотности нормального распределения вероятности

Более того, часто имеет смысл из всех точек данных вычесть среднее. При этом центр распределения сместится в начало координат. В этом случае точка данных, которая смещена на одно стандартное отклонение вправо от среднего, имеет зна­чение 1 на оси X.

Если мы вычтем среднее из точек данных, а затем разделим полученные значе­ния на стандартное отклонение точек данных, то преобразуем распределение в нормированное нормальное (standardized normal). Это нормальное распределение со средним, равным 0, и дисперсией, равной 1. Теперь N'(Z) даст нам значение на оси Y (высота кривой) для любого значения Z:

 

 

U = среднее значение данных;

S = стандартное отклонение данных;

Х = наблюдаемая точка данных;

ЕХР() = экспоненциальная функция.

Уравнение (3.16) дает нам число стандартных единиц, которым соответствует точ­ка данных; другими словами, число стандартных отклонений, на которое точка данных смещена от среднего. Когда уравнение (3.16) равно 1, оно называется стандартным нормальным отклонением (standard normal deviate) от среднего значе­ния. Стандартное отклонение, или стандартная единица, иногда называется сиг­мой (sigma). Таким образом, когда говорят о событии, которое было «событием пяти сигма», то речь идет о событии, вероятность которого находится за предела­ми пяти стандартных отклонений.

Рисунок 3‑7 показывает нормальную кривую, заданную предедущим уравне­нием. Отметьте, что высота стандартной нормальной кривой составляет 0,39894, поскольку из уравнения (3.15а) мы получаем:

 

 

Отметьте, что кривая непрерывна (в ней нет «разрывов»), когда она переходит из отрицательной области слева в положительную область справа. Отметьте также, что кривая симметрична: сторона справа от пика является зеркальным отражени­ем стороны слева. Предположим, у нас есть группа данных, где среднее равно 11, а стандартное отклонение равно 20. Чтобы увидеть, где точка данных будет отображена на кри­вой, рассчитаем ее в стандартных единицах. Предположим, что рассматриваемая точка данных имеет значение ‑9. Чтобы рассчитать число стандартных единиц, мы сначала должны вычесть среднее из этой точки данных: ‑9‑ 11 =‑20

Затем надо разделить полученный результат на стандартное отклонение:

‑20/20=‑1

Теперь мы можем сказать, что, когда точка данных равна ‑9, среднее равно 11, а стандартное отклонение составляет 20, число стандартных единиц равно ‑1. Други­ми словами, мы находимся на одно стандартное отклонение от пика кривой, и, так как это значение отрицательно, оно находится слева от пика. Чтобы увидеть, где это будет на самой кривой (то есть насколько высока кривая при одном стандартном отклонении слева от центра, или чему равно значение кривой на оси Y для значе­ния ‑1 на оси X), надо подставить полученное значение в уравнение (3.15а):

 

 

Таким образом, высота кривой при Х=‑1 составляет 0,2419705705. Функция N'(Z) также часто выражается как:

 

 

и ATN() = функция арктангенса;

U = среднее значение данных;

S = стандартное отклонение данных;

Х = наблюдаемая точка данных;

ЕХР() = экспоненциальная функция.

Не искушенные в статистике люди часто находят концепцию стандартного отклоне­ния (или квадрата ее величины, дисперсии) трудной для представления. Среднее абсо­лютное отклонение (mean absolute deviation), которое можно преобразовать в стандар­тное отклонение, гораздо проще для понимания. Среднее абсолютное отклонение полностью отвечает своему названию: среднее данных вычитается из каждой точки данных, затем абсолютные значения каждой из этих разностей суммируются, и дан­ная сумма делится на число точек данных. В результате у вас получается среднее рас­стояние каждой точки данных до среднего значения. Преобразование среднего аб­солютного отклонения в стандартное отклонение, и наоборот, представлены далее:

 

 

где М = среднее абсолютное отклонение;

S = стандартное отклонение.

Можно сказать, что при нормальном распределении среднее абсолютное откло­нение равно стандартному отклонению, умноженному на 0,7979.

(3.18) S = М * 1 / 0,7978845609

=М* 1,253314137, где S = стандартное отклонение;

М = среднее абсолютное отклонение.

Мы можем также сказать, что при нормальном распределении стандартное отклонение равно среднему абсолютному отклонению, умноженному на 1,2533. Так как дисперсия всегда является стандартным отклонением в квад­рате (а стандартное отклонение является квадратным корнем дисперсии), мы можем задать преобразование между дисперсией и средним абсолютным от­клонением.

(3.19) М = V ^ (1/2) * ((2 / 3,1415926536)^ (1/2))

= V ^{^} (1/2)* 0,7978845609,

где М = среднее абсолютное отклонение;

V = дисперсия.

(3.20) V = (М * 1,253314137)^ 2,

где V =дисперсия;

М = среднее абсолютное отклонение.

Так как стандартное отклонение в стандартной нормальной кривой равно 1, мы можем сказать, что среднее абсолютное отклонение в стандартной нормальной кривой равно 0,7979. Более того, в колоколообразной кривой, подобной нормальной, семи‑интер‑квартильная широта равна приблизительно 2/3 стандартного отклонения, и поэто­му стандартное отклонение примерно в 1,5 раза больше семи‑интерквартильной широты. Это справедливо для большинства колоколообразных распределений, а не только для нормальных, как и в случае с преобразованием среднего абсолютного отклонения в стандартное отклонение.

Нормальные вероятности

Теперь мы знаем, как преобразовывать наши необработанные данные в стан­дартные единицы и как построить кривую N'(Z) (т.е. как найти высоту кривой, или координату Y, для данной стандартной единицы), а также N'(X) (из уравнения (3.14), т.е. саму кривую без первоначального преобразования в стандар­тные единицы). Для практического использования нормального распределе­ния вероятности нам надо знать вероятность определенного результата. Это определяется не высотой кривой, а площадью под кривой. Эта площадь зада­ется интегралом функции N'(Z), которую мы до настоящего момента изучали. Теперь мы займемся N(Z), интегралом N'(Z), чтобы найти площадь под кри­вой (т.е. вероятности)[12].

 

 

где Y=1/(1+2316419*ABS(Z))

и ABSQ = функция абсолютного значения;

ЕХР() = экспоненциальная функция.

При расчете вероятности мы всегда будем преобразовывать данные в стандарт­ные единицы. То есть вместо функции N(X) мы будем использовать функцию

N(Z), где:

(3.16) Z=(X‑U)/S,

где U = среднее значение данных;

S = стандартное отклонение данных;

Х = наблюдаемая точка данных.

Теперь обратимся к уравнению (3.21). Допустим, нам надо знать, какова вероят­ность события, не превышающего +2 стандартных единицы (Z = +2).

Y= 1/(1 +2316419*ABS(+2)) =1/1,4632838 =0,68339443311

(3.15a) N'(Z) = 0,398942 * ЕХР(‑(+2^2/2))

 

= 0,398942 *ЕХР (‑2)=0,398942*0,1353353=0,05399093525

Заметьте, мы можем найти высоту кривой при +2 стандартных единицах. Подставляя полученные значения вместо Y и N'(Z) в уравнение (3.21), мы можем получить вероятность события, не превышающего +2 стандартных единицы:

N(Z) = 1 ‑ N'(Z) * ((1,330274429 * Y^ 5) ‑

‑ (1,821255978 * Y^4) + (1,781477937 * Y^ 3) ‑

‑ (0,356563782 * Y ^{^} 2) + (0,31938153 * Y))

= 1‑0,05399093525* ((1,330274429* 0,68339443311^5)‑

‑ (1,821255978 * 0,68339443311 ^ 4 + 1,781477937 * 0,68339443311^ 3) ‑ ‑ (0,356563782 * 0,68339443311 ^2) + 0,31938153 * 0,68339443311))

= 1 ‑ 0,05399093525 * (1,330274429 * 0,1490587) ‑

‑ (1,821255978 * 0,2181151 + (1,781477937 * 0,3191643)‑

‑ (0,356563782 * 0,467028 + 0,31938153 ‑ 0,68339443311))

 

1‑ 0,05399093525 * (0,198288977 ‑ 0,3972434298 + 0,5685841587 ‑

‑0,16652527+0,2182635596)

= 1 ‑ 0,05399093525 * 0,4213679955 = 1 ‑ 0,02275005216= 0,9772499478

Таким образом, можно ожидать, что 97,72% результатов в нормально распреде­ленном случайном процессе не попадают за +2 стандартные единицы. Это изоб­ражено на рисунке 3‑8.

Чтобы узнать, какова вероятность события, равного или превышающего за­данное число стандартных единиц (в нашем случае +2), надо просто изменить уравнение (3.21) и не использовать условие «Если Z < 0, то N(Z) = 1 ‑ N(Z)». Поэтому вторая с конца строка в последнем расчете изменится с

= 1 ‑ 0,02275005216 на 0,02275005216

Таким образом, с вероятностью 2,275% событие в нормально распределенном случайном процессе будет равно или превышать +2 стандартные единицы. Это показано на рисунке 3‑9.

 

 

Рисунок 3‑8    Уравнение (3.21) для вероятности Z=+2

 

 

Рисунок 3‑9 Устранение оговорки «Если Z < 0, то N(Z) = 1 ‑ N(Z)» в уравнении (3.21)

До сих пор мы рассматривали площади под кривой 1‑хвостых распределений вероятности. То есть до настоящего момента мы отвечали на вопрос: «Какова вероятность события, которое меньше (больше) заданного количества стан­дартных единиц от среднего?» Предположим, теперь нам надо ответить на та­кой вопрос: «Какова вероятность события, которое находится в интервале между определенным количеством стандартных единиц от среднего?» Други­ми словами, мы хотим знать, как подсчитать 2‑хвостые вероятности. Посмот­рим на рисунок 3‑10. Он представляет вероятности события в интервале двух стандартных единиц от среднего. В отличие от рисунка 3‑8 этот расчет вероят­ности не включает крайнюю область левого хвоста, область меньше ‑2 стан­дартных единиц. Для расчета вероятности нахождения в диапазоне Z стандар­тных единиц от среднего вы должны сначала рассчитать 1‑хвостую вероят­ность абсолютного значения Z с помощью уравнения (3.21), а затем получен­ное значение подставить в уравнение (3.22), которое дает 2‑хвостые вероятно­сти (то есть вероятности нахождения в диапазоне ABS(Z) стандартных единиц от среднего):

(3.22) 2‑хвостая вероятность =1‑((1‑ N(ABS(Z))) * 2)

Если мы рассматриваем вероятности наступления события в диапазоне 2 стандар­тных отклонений (Z = 2), то из уравнения (3.21) найдем, что N(2) = 0,9772499478 и можно использовать полученное значение для уравнения (3.22):

2‑хвостая вероятность =1‑((1‑ 0,9772499478) * 2) =1‑(0,02275005216*2) = 1 ‑ 0,04550010432 = 0,9544998957

Таким образом, из этого уравнения следует, что при нормально распределенном случайном процессе вероятность события, попадающего в интервал 2 стандарт­ных единиц от среднего, составляет примерно 95,45%.

Как и в случае с уравнением (3.21), можно убрать первую единицу в уравне­нии (3.22), чтобы получить (1 ‑ N(ABS(Z))) * 2, что представляет вероятности события вне ABS(Z) стандартных единиц от среднего. Это отображено на рисун­ке 3‑11. Для нашего примера, где Z = 2, вероятность события при нормально рас­пределенном случайном процессе вне 2 стандартных единиц составляет:

2‑хвостая вероятность (вне) = (1 ‑ 0,9772499478) * 2 =0,02275005216*2 =0,04550010432

Наконец, мы рассмотрим случай, когда надо найти вероятности (площадь под кривой N'(Z)) для двух различных значений Z.

 

 

Рисунок 3‑10 2‑хвостая вероятность события между +2 и ‑2 сигма

 

 

Рисунок 3‑11 2‑хвостая вероятность события, находящегося вне 2 сигма

 

Допустим, нам надо найти площадь под кривой N'(Z) между ‑1 стандартной еди­ницей и +2 стандартными единицами. Есть два способа расчета. Мы можем рассчитать вероятность, не превыша­ющую +2 стандартные единицы, при помощи уравнения (3.21) и вычесть ве­роятность, не превышающую ‑1 стандартную единицу (см. рисунок 3‑12). Это даст нам:

0,9772499478 ‑ 0,1586552595 = 0,8185946883

 

 

Рисунок 3‑12 Площадь между ‑1 и +2 стандартными единицами

Другой способ: из единицы, представляющей всю площадь под кривой, надо вы­честь вероятность, не превышающую ‑1 стандартную единицу, и вероятность, превышающую 2 стандартные единицы:

= 1 ‑ (0,022750052 + 0,1586552595) = 1 ‑0,1814053117 =0,8185946883

С помощью рассмотренных в этой главе математических подходов вы сможете рассчитывать любые вероятности событий для случайных процессов, имею­щих нормальное распределение.

 

---

Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 206; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!