Кинетическая энергия твердого тела при поступательном и вращательном движениях
Поступательное движение
При поступательном движении
|
При поступательном движении тело можно считать материальной точкой.
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
При вращательном движении
Обозначим
- момент инерции твердого тела относительно оси вращения.
Тогда
Читать : Кинетическая энергия твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси равна половине произведения момента инерции относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.
Замечание: М-масса - мера инерции тела при поступательном движении; J - момент инерции - мера инерции вращающегося тела.
Определение моментов инерции простейших однородных тел
1. Тонкий прямолинейный стержень - тонкий, если его толщиной по сравнению с длиной можно пренебречь.
(1)
Из условия однородности стержня
. (2)
Подставим (2) в (1) и проинтегрируем:
2. Круглое тонкое кольцо - тонкое, если по сравнению с радиусом толщиной можно пренебречь.
Радиус инерции
Для точек вращающегося твердого тела
|
Формула (1) определяет момент инерции любого тела, если известен его радиус инерции.
Радиус инерции ρ определяет расстояние от оси вращения до точки, в которой нужно сосредоточить всю массу тела, чтобы момент инерции точки относительно этой оси равнялся моменту инерции тела.
|
|
3. Круглый тонкий диск
(1)
Из условия однородности
(2)
Подставим (2) в (1) и проинтегрируем:
4. Сплошной цилиндр
Центр масс системы (центр тяжести твердого тела и его координаты)
Рассмотрим систему n материальных точек. Положение каждой точки относительно системы отсчета Oxyz определяется в каждый момент времени радиус-вектором или координатами .
Центром масс системы называется геометрическая точка С, радиус-вектор ,который определяется по формуле:
(1) - масса системы.
Положение центра масс не зависит от приложенных сил, а зависит от положения точек системы и их масс.
Проецируя обе части (1) на оси координат x , y , z получаем формулы, позволяющие определить координаты центра масс системы:
Умножим и поделим правые части (1) и (2) на g :
, ,…,… (3)
В (1) и (2):
- статический момент массы системы относительно полюса О,
, , - статические моменты масс системы относительно плоскостей zoy,xoz,xoy.
|
|
Если начало отсчета О совпадает с центром масс, то все статические моменты равны 0.
(1) , т.к. .
Если система находится в поле земного тяготения, то центр масс совпадает с центром тяжести.
Центр масс существует и в том случае, когда система находится за пределами поля земного тяготения
Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей
Теорема . Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси равен моменту инерции относительно оси, проходящей через центр масс системы, параллельно данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.
.
Примем за центр масс начало координат .
Координаты точки системы массой . Расстояние от этой точки до осей z и .
Тогда моменты инерций относительно данных осей:
(1)
Из . (2)
Для получаем, подставив (2) в (1):
- масса системы
Таким образом .
Следствие. Если имеется система параллельных осей, то ось, для которой момент инерции имеет наименьшее значение, проходит через центр масс.
Пример: определить момент инерции стержня относительно оси, проходящей через середину стержня.
|
|
По теореме о моментах инерции относительно параллельных осей:
.
|
Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 690; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!