Примеры решения систем уравнений
Пример
Задание. Найти решение СЛАУ 
при помощи метода Крамера.
Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:
Так как 
, то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители. Определитель 
получим из определителя 
заменой его первого столбца столбцом свободных коэффициентов. Будем иметь:
Аналогично, определитель 
получается из определителя матрицы системы заменой второго столбца столбцом свободных коэффициентов:
Тогда получаем, что
Ответ. 
, 
Пример
Задание. При помощи формул Крамера найти решение системы 
Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:
Так как определитель матрицы системы неравен нулю, то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим следующие определители:
Таким образом,
Ответ. 
Примеры
Найдите решение системы линейных уравнений методом Крамера 
.
Решение.
Перепишем систему в виде 
, чтобы стало видно основную матрицу системы 
. Найдем ее определитель по формуле
Имеем
Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система линейных уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Вычислим определители 
:
Таким образом,
Ответ:
.
Обозначения неизвестных переменных в уравнениях системы могут отличаться от x1, x2, …, xn. Это не влияет на процесс решения. А вот порядок следования неизвестных переменных в уравнениях системы очень важен при составлении основной матрицы и необходимых определителей метода Крамера. Поясним этот момент на примере.
Пример.
Используя метод Крамера, найдите решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными 
.
Решение.
В данном примере неизвестные переменные имеют другое обозначение (x, y и z вместо x1, x2 и x3). Это не влияет на ход решения, но будьте внимательны с обозначениями переменных. В качестве основной матрицы системы НЕЛЬЗЯ брать 
. Необходимо сначала упорядочить неизвестные переменные во всех уравнениях системы. Для этого перепишем систему уравнений как 
. Теперь основную матрицу системы хорошо видно 
. Вычислим ее определитель:
Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Запишем определители 
(обратите внимание на обозначения) и вычислим их:
Осталось найти неизвестные переменные по формулам 
:
Выполним проверку. Для этого умножим основную матрицу на полученное решение 
(при необходимости смотрите раздел операции над матрицами):
В результате получили столбец свободных членов исходной системы уравнений, поэтому решение найдено верно.
Ответ:
x = 0, y = -2, z = 3.
Пример.
Решите методом Крамера систему линейных уравнений 
, где a и b – некоторые действительные числа.
Решение.
Вычислим определитель основной матрицы системы:
Определитель отличен от нуля, следовательно, можно применить метод Крамера.
Находим неизвестные переменные
Рекомендуем проверить полученные результаты.
Ответ:
.
Пример.
Найдите решение системы уравнений 
методом Крамера, 
- некоторое действительное число.
Решение.
Вычислим определитель основной матрицы системы: 
. Область значений выражения 
есть интервал 
, поэтому 
при любых действительных значениях . Следовательно, система уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. Вычисляем 
и 
:
Таким образом, 
.
Выполним проверку:
Уравнения системы обращаются в тождества, следовательно, решение найдено верно.
Ответ:
.
Пример.
Методом Крамера найдите решение СЛАУ 
.
Решение.
Эта система однородная, так как все свободные члены равны нулю. Определитель основной матрицы отличен от нуля 
, поэтому ее единственным решением является x1 = 0, x2 = 0. О таких СЛАУ мы уже упоминали выше в замечании.
Ответ:
x1 = 0, x2 = 0.
Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 465; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!