Нахождение ранга матрицы по определению.
Итак, первым методом нахождения ранга матрицы является метод перебора миноров. Этот способ основан на определении ранга матрицы.
Пусть нам требуется найти ранг матрицы А порядка 
.
Вкратце опишем алгоритм решения этой задачи способом перебора миноров.
Если есть хотя бы один элемент матрицы, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (так как есть минор первого порядка, не равный нулю).
Далее перебираем миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если существует хотя бы один ненулевой минор второго порядка, то переходим к перебору миноров третьего порядка, а ранг матрицы как минимум равен двум.
Аналогично, если все миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум. Если существует хотя бы один минор третьего порядка, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен трем, а мы преступаем к перебору миноров четвертого порядка.
И так далее.
Отметим, что ранг матрицы не может превышать наименьшего из чисел p и n.
Пример.
Найдите ранг матрицы 
.
Решение.
Так как матрица ненулевая, то ее ранг не меньше единицы.
Минор второго порядка 
отличен от нуля, следовательно, ранг матрицы А не меньше двух. Переходим к перебору миноров третьего порядка. Всего их 
штук.
Все миноры третьего порядка равны нулю. Поэтому, ранг матрицы равен двум.
Ответ: Rank(A) = 2.
Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров.
|
|
|
Существуют другие методы нахождения ранга матрицы, которые позволяют получить результат при меньшей вычислительной работе.
Одним из таких методов является метод окаймляющих миноров.
Разберемся с понятием окаймляющего минора.
Говорят, что минор Мок (k+1)-ого порядка матрицы А окаймляет минор M порядка kматрицы А, если матрица, соответствующая минору Мок , «содержит» матрицу, соответствующую минору M. Другими словами, матрица, соответствующая окаймляемому минору М, получается из матрицы, соответствующей окаймляющему минору Mок , вычеркиванием элементов одной строки и одного столбца. Для примера рассмотрим матрицу 
и возьмем минор второго порядка 
.
Запишем все окаймляющие миноры:
Метод окаймляющих миноров обосновывается следующей теоремой (приведем ее формулировку без доказательства).
Теорема.
Если все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p на n, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равны нулю.
Таким образом, для нахождения ранга матрицы не обязательно перебирать все миноры, достаточно окаймляющих. Количество миноров, окаймляющих минор k -огопорядка матрицы А порядка 
, находится по формуле 
. Отметим, что миноров, окаймляющих минор k-ого порядка матрицы А, не больше, чем миноров (k + 1)-ого порядка матрицы А. Поэтому, в большинстве случаев использование метода окаймляющих миноров выгоднее простого перебора всех миноров.
|
|
|
Перейдем к нахождению ранга матрицы методом окаймляющих миноров. Кратко опишем алгоритм этого метода.
Если матрица А ненулевая, то в качестве минора первого порядка берем любой элемент матрицы А, отличный от нуля. Рассматриваем его окаймляющие миноры. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если же есть хотя бы один ненулевой окаймляющий минор (его порядок равен двум), то переходим к рассмотрению его окаймляющих миноров. Если все они равны нулю, то Rank(A) = 2. Если хотя бы один окаймляющий минор отличен от нуля (его порядок равен трем), то рассматриваем его окаймляющие миноры. И так далее. В итоге Rank(A) = k, если все окаймляющие миноры (k + 1)-ого порядка матрицы А равны нулю, либо Rank(A) = min(p, n), если существует ненулевой минор, окаймляющий минор порядка (min(p, n) – 1).
Разберем метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы на примере.
Пример.
Найдите ранг матрицы 
методом окаймляющих миноров.
Решение.
Так как элемент a1 1 матрицы А отличен от нуля, то возьмем его в качестве минора первого порядка. Начнем поиск окаймляющего минора, отличного от нуля:
|
|
|
Найден окаймляющий минор второго порядка, отличный от нуля 
. Переберем его окаймляющие миноры (их 
штук):
Все миноры, окаймляющие минор второго порядка 
, равны нулю, следовательно, ранг матрицы А равен двум.
Ответ:
Rank(A) = 2.
Найдите ранг матрицы 
с помощью окаймляющих миноров.
Решение.
В качестве отличного от нуля минора первого порядка возьмем элемент a1 1 = 1 матрицы А. Окаймляющий его минор второго порядка 
не равен нулю. Этот минор окаймляется минором третьего порядка 
. Так как он не равен нулю и для него не существует ни одного окаймляющего минора, то ранг матрицы А равен трем.
Ответ:
Rank(A) = 3.
Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 357; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!