Билет 5. Системы линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Теорема Крамера.

1.Под системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) подразумевают систему

a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn=b1;

a21x1+a22x2+a23x3+…+a2nxn=b2;

………………………………

am1x1+am2x2+am3x3+…+amnxn=bm. (1)

содержащую m уравнений и n неизвестных (x1,x2,…,xn). Прилагательное «линейных» означает, что все неизвестные (их еще называют переменными) входят только в первой степени.

Параметры aij (i=1,m¯¯¯¯¯¯¯¯, j=1,n¯¯¯¯¯¯¯) называют коэффициентами, а bi (i=1,m¯¯¯¯¯¯¯¯) – свободными членами СЛАУ. Иногда, чтобы подчеркнуть количество уравнений и неизвестных, говорят так «m×n система линейных уравнений», – тем самым указывая, что СЛАУ содержит m уравнений и n неизвестных.

Если все свободные члены bi=0 (i=1,m¯¯¯¯¯¯¯¯), то СЛАУ называют однородной. Если среди свободных членов есть хотя бы один, отличный от нуля, СЛАУ называют неоднородной.

Решением СЛАУ (1) называют всякую упорядоченную совокупность чисел (α1,α2,…,αn), если элементы этой совокупности, подставленные в заданном порядке вместо неизвестных x1,x2,…,xn, обращают каждое уравнение СЛАУ в тождество.

Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение: нулевое (в иной терминологии – тривиальное), т.е. x1=x2=…=xn=0.

Если СЛАУ (1) имеет хотя бы одно решение, ее называют совместной, если же решений нет – несовместной. Если совместная СЛАУ имеет ровно одно решение, её именуют определённой, если бесконечное множество решений – неопределённой.

Пример №1

Рассмотрим СЛАУ

3x1−4x2+x3+7x4−x5=11;

2x1+10x4−3x5=−65;

3x2+19x3+8x4−6x5=0. (2)

Имеем систему линейных алгебраических уравнений, содержащую 3 уравнения и 5 неизвестных: x1,x2,x3,x4,x5. Можно, сказать, что задана система 3×5 линейных уравнений.

Коэффициентами системы (2) есть числа, стоящие перед неизвестными. Например, в первом уравнении эти числа таковы: 3,−4,1,7,−1. Свободные члены системы представлены числами 11,−65,0. Так как среди свободных членов есть хотя бы один, не равный нулю, то СЛАУ (2) является неоднородной.

Упорядоченная совокупность (4;−11;5;−7;1) является решением данной СЛАУ. В этом несложно убедиться, если подставить x1=4;x2=−11;x3=5;x4=−7;x5=1 в уравнения заданной системы:

3x1−4x2+x3+7x4−x5=3⋅4−4⋅(−11)+5+7⋅(−7)−1=11;

2x1+10x4−3x5=2⋅4+10⋅(−7)−3⋅1=−65;

3x2+19x3+8x4−6x5=3⋅(−11)+19⋅5+8⋅(−7)−6⋅1=0.

Пример №2

Рассмотрим СЛАУ

4x1+2x2−x3=0;

10x1−x2=0;5x2+4x3=0;

3x1−x3=0;

14x1+25x2+5x3=0.(3)

Система (3) является СЛАУ, содержащей 5 уравнений и 3 неизвестных: x1,x2,x3. Так как все свободные члены данной системы равны нулю, то СЛАУ (3) является однородной. Несложно проверить, что совокупность (0;0;0) является решением данной СЛАУ. Подставляя x1=0,x2=0,x3=0, например, в первое уравнение системы (3), получим верное равенство: 4x1+2x2−x3=4⋅0+2⋅0−0=0. Подстановка в иные уравнения делается аналогично.

Матричная форма записи систем линейных алгебраических уравнений.

С каждой СЛАУ можно связать несколько матриц; более того – саму СЛАУ можно записать в виде матричного уравнения. Для СЛАУ (1) рассмотрим такие матрицы:

Матрица A называется матрицей системы. Элементы данной матрицы представляют собой коэффициенты заданной СЛАУ.

Матрица A˜ называется расширенной матрицей системы. Её получают добавлением к матрице системы столбца, содержащего свободные члены b1,b2,...,bm. Обычно этот столбец отделяют вертикальной чертой, – для наглядности.

Матрица-столбец B называется матрицей свободных членов, а матрица-столбец X – матрицей неизвестных.

Используя введённые выше обозначения, СЛАУ (1) можно записать в форме матричного уравнения: A⋅X=B.

Примечание

Матрицы, связанные с системой, можно записать различными способами: всё зависит от порядка следования переменных и уравнений рассматриваемой СЛАУ. Но в любом случае порядок следования неизвестных в каждом уравнении заданной СЛАУ должен быть одинаков (см. пример №4).

Пример №3

Записать СЛАУ

2x1+3x2−5x3+x4=−5;

4x1−x3=0;

14x2+8x3+x4=−11. в матричной форме и указать расширенную матрицу системы.

Решение

Имеем четыре неизвестных, которые в каждом уравнении следуют в таком порядке: x1,x2,x3,x4. Матрица неизвестных будет такой:

Свободные члены данной системы выражены числами −5,0,−11, посему матрица свободных членов имеет вид:

B= −5

−11.

Перейдем к составлению матрицы системы. В первую строку данной матрицы будут занесены коэффициенты первого уравнения: 2,3,−5,1.

Во вторую строку запишем коэффициенты второго уравнения: 4,0,−1,0. При этом следует учесть, что коэффициенты системы при переменных x2 и x4 во втором уравнении равны нулю (ибо эти переменные во втором уравнении отсутствуют).

В третью строку матрицы системы запишем коэффициенты третьего уравнения: 0,14,8,1. Учитываем при этом равенство нулю коэффициента при переменной x1(эта переменная отсутствует в третьем уравнении). Матрица системы будет иметь вид:

A= 2 3 -5 1

4 0 -1 0

0 14 8 1

Чтобы была нагляднее взаимосвязь между матрицей системы и самой системой, я запишу рядом заданную СЛАУ и ее матрицу системы:

В матричной форме заданная СЛАУ будет иметь вид A⋅X=B. В развернутой записи:

2 3 -5 1 x1

4 0 -1 0 * x2 = -5

0 14 8 1 x3 0

x4 -11

Запишем расширенную матрицу системы. Для этого к матрице системы

A= 2 3 -5 1

4 0 -1 0

0 14 8 1 допишем столбец свободных членов (т.е. −5,0,−11).

Получим:

A˜= 2 3 -5 1 -5

4 0 -1 0 0

0 14 8 1 11

Пример №4

Записать СЛАУ

3y+4a=17;

2a+4y+7c=10;

8c+5y−9a=25;

5a−c=−4. в матричной форме и указать расширенную матрицу системы.

Решение

Как видите, порядок следования неизвестных в уравнениях данной СЛАУ различен. Например, во втором уравнении порядок таков: a,y,c, однако в третьем уравнении: c,y,a. Перед тем, как записывать СЛАУ в матричной форме, порядок следования переменных во всех уравнениях нужно сделать одинаковым.

Упорядочить переменные в уравнениях заданной СЛАУ можно разными способами (количество способов расставить три переменные составит 3!=6). Я разберу два способа упорядочивания неизвестных.

Способ №1

Введём такой порядок: c,y,a.

Перепишем систему, расставляя неизвестные в необходимом порядке:

3y+4a=17;

7c+4y+2a=10;

8c+5y−9a=25;

−c+5a =−4.

Для наглядности я запишу СЛАУ в таком виде:

0⋅c+3⋅y+4⋅a=17;

7⋅c+4⋅y+2⋅a=10;

8⋅c+5⋅y−9⋅a=25;

−1⋅c+0⋅y+5⋅a=−4.

Матрица системы имеет вид:

A= 0 3 4

7 4 2

8 5 -9

-1 0 5

Матрица свободных членов: B= 17

−4 .

При записи матрицы неизвестных помним о порядке следования неизвестных: X=⎛⎝⎜cya⎞⎠⎟. Итак, матричная форма записи заданной СЛАУ такова: A⋅X=B. В развёрнутом виде:

0 3 4

7 4 2 c 17

8 5 -9 * y = 10

-1 0 5 a 25

-4

Расширенная матрица системы такова:

0 3 4 17

7 4 2 10

8 5 -9 25

-1 0 5 -4

Способ №2

Введём такой порядок: a,c,y. Перепишем систему, расставляя неизвестные в необходимом порядке:

a+3y=17;

2a+7c+4y=10;

−9a+8c+5y=25;

5a−c=−4.

Для наглядности я запишу СЛАУ в таком виде:

4⋅a+0⋅c+3⋅y=17;

2⋅a+7⋅c+4⋅y=10;

−9⋅a+8⋅c+5⋅y=25;

5⋅c−1⋅c+0⋅y=−4.

Матрица системы имеет вид:

A= 4 0 3

2 7 4

−9 8 5

5 -1 0.

Матрица свободных членов: B= 17

−4 . При записи матрицы неизвестных помним о порядке следования неизвестных:

X = a

y Итак, матричная форма записи заданной СЛАУ такова: A⋅X=B. В развёрнутом виде:

A= 4 0 3 17

2 7 4 a 10

−9 8 5 * c = 25

5 -1 0. y -4

Расширенная матрица системы такова:

A= 4 0 3 17

2 7 4 10

−9 8 5 25

5 -1 0. -4

Как видите, изменение порядка следования неизвестных равносильно перестановке столбцов матрицы системы. Но каким бы этот порядок расположения неизвестных, ни был, он должен совпадать во всех уравнениях заданной СЛАУ.

Метод обратной матрицы.

Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы).

Пусть система линейных алгебраических уравнений задана в матричной форме , где матрица A имеет размерность n на n и ее определитель отличен от нуля.

Так как , то матрица А – обратима, то есть, существует обратная матрица . Если умножить обе части равенства на слева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных . Так мы получили решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.

Пример.

Решите систему линейных уравнений матричным методом.

Решение.

Перепишем систему уравнений в матричной форме:

Так как

то СЛАУ можно решать матричным методом. С помощью обратной матрицы решение этой системы может быть найдено как .

Построим обратную матрицу с помощью матрицы из алгебраических дополнений элементов матрицы А (при необходимости смотрите статью методы нахождения обратной матрицы):

Осталось вычислить - матрицу неизвестных переменных, умножив обратную матрицу на матрицу-столбец свободных членов (при необходимости смотрите статью операции над матрицами):

Ответ:

или в другой записи x₁ = 4, x₂ = 0, x₃ = -1.

Основная проблема при нахождении решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом заключается в трудоемкости нахождения обратной матрицы, особенно для квадратных матриц порядка выше третьего.

Теорема Крамера.

Метод Крамера (теорема Крамера) — способ решения квадратных СЛАУ с ненулевым определителем основной матрицы. Назван по имени Габриэля Крамера, автора метод.

Теорема Крамера

Теорема

Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

где - определитель матрицы системы, - определитель матрицы системы, где вместо -го столбца стоит столбец правых частей.

Замечание

Если определитель системы равен нулю, то система может быть как совместной, так и несовместной.

Замечание

Данный метод удобно применять для маленьких систем с громоздкими вычислениями, а так же если нужно найти одну из неизвестных. Трудность заключается в том, что необходимо считать много определителей.

Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 800; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8910 11 12 13 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!