Правило треугольника для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка
Правило:
Для матрицы 3×3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.
| ∆ = |
| = | |||||||||||
a11
a13
= a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - a13·a22·a31 - a11·a23·a32 - a12·a21·a33
Правило Саррюса для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка
Правило:
Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":
| = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - a13·a22·a31 - a11·a23·a32 - a12·a21·a33 |
∆=
a12
Пример 2.
Найти определитель матрицы A
|
Решение:
| det(A) = |
| = 5·1·3 + 7·0·2 + 1·(-4)·0 - 1·1·2 - 5·0·0 - 7·(-4)·3 = 15 + 0 + 0 - 2 - 0 + 84 = 97 |
5
1
Вычисление определителя матрицы произвольного размера
Разложение определителя по строке или столбцу
Правило:
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:
|
|
|
| n | |||||||||||
| det(A= | Σ |
| |||||||||
| j = 1 |
Правило:
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:
| n |
| ||||||||||
| det(A) = | Σ | При разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов. Приме |
Пример 3
Найти определитель матрицы A
| A = |
|
Решение: Вычислим определитель матрицы разложив его по первому столбцу:
| det(A) = |
| = |
2
1
| = 2·(-1)1+1· |
| + 0·(-1)2+1· |
| + 2·(-1)3+1· |
| = |
2
1
4
1
= 2·(2·1 - 1·1) + 2·(4·1 - 2·1) = 2·(2 - 1) + 2·(4 - 2) = 2·1 + 2·2 = 2 + 4 = 6
Пример 4.
Найти определитель матрицы A
| A = |
|
| A =ение:Решение: Вычислим определитель матрицы, разложив его по второй строке (в ней больше всего нулей):
= 2·(2·1·3 + 1·3·4 + 1·2·2 - 1·1·4 - 2·3·2 - 1·2·3) = 2·(6 +12 + 4 - 4 - 12 - 6) = 2·0 = 0 |
|
2
1
4
1
2
1
2
1
1
Приведение определителя к треугольному виду
Правило:
Используя свойства определителя для элементарных преобразований над строками и столбцами 8 - 11, определитель приводится к треугольному виду, и тогда его значение будет равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.
Пример 5.
Найти определитель матрицы A приведением его к треугольному виду
| A = |
|
Решение:
| det(A) = |
|
2
1
Сначала получим нули в первом столбце под главной диагональю. Для этого отнимем от 3-тей строки 1-ую строку, а от 4-той строки 1-ую строку, умноженную на 2:
| det(A) = |
| = |
|
2
1
2
1
Получим нули во втором столбце под главной диагональю. Для этого поменяем местами 2-ой и 3-тий столбцы:
|
|
|
| det(A) = - |
|
2
Получим нули в третьем столбце под главной диагональю. Для этого к 3-ему столбцу добавим 4-тий столбец, умноженный на 8:
| det(A) = - |
|
= - =-2·1·13·1 = -26 |
2
1
2
1
Теорема Лапласа
Теорема:
Пусть ∆ - определитель n-ого порядка. Выберем в нем произвольные k строк (столбцов), причем k < n. Тогда сумма произведений всех миноров k-ого порядка, которые содержатся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.
Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 506; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!