Билет 6. Системы линейных уравнений. Элементарные преобразования. Метод Гаусса. Понятие ранга матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.
1.
Пусть F – поле. Система k линейных алгебраических уравнений с n неизвестными над полем F может быть записана так:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1;
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ak1x1 + ak2x2 + . . . + aknxn = bk . (1)
Определения
Здесь aij ∈ F (i = 1, 2, . . . , k, j = 1, 2, . . . , n) называются коэффициентами системы (1), bi ∈ F (i = 1, 2, . . . , k) — ее свободными членами. Они предполагаются известными.
Частным решением системы линейных уравнений (1) называется упорядоченный набор (c1, c2, . . . , cn) элементов из F, такой, что при подстановке в каждое ее уравнение вместо неизвестных x1, x2, . . . , xn элементов c1, c2, . . . , cn соответственно это уравнение превращается в верное равенство.
Решить систему (1) означает найти все ее частные решения или доказать, что их не существует.
Множество всех частных решений данной системы линейных уравнений называется ее общим решением.
Пример частного решения
Например, для системы линейных уравнений над полем R
3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 1;
6x1 + 8x2 + 2x3 + 5x4 = 4;
9x1 + 12x2 + 3x3 + 10x4 = 11
строка (−1, 0, 0, 2) является частным решением, а строка (1, −1, −1, 2) – не является.
Типы систем линейных уравнений
Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет по крайней мере одно частное решение (т.е. ее общее решение не пусто); в противном случае говорят, что система несовместна.
Система, имеющая единственное решение, называется определенной, а система, имеющая более одного решения, – неопределенной. Далее будет установлено, что неопределенная система над бесконечным полем всегда имеет бесконечно много решений.
|
|
|
Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены во всех уравнениях равны 0. Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как имеет нулевое решение (0, 0, . . . , 0).
Две системы линейных уравнений называются равносильными, если они имеют совпадающие общие решения. Это означает, что каждое частное решение первой системы является решением второй и, обратно, каждое
частное решение второй системы будет решением первой. Любые две несовместные системы по определению равносильны.
3. Элементарные преобразования системы линейных уравнений
Элементы поля для краткости будем называть скалярами.
Следующие преобразования системы линейных уравнений называются элементарными:
1) умножение уравнения на ненулевой скаляр;
2) прибавление одного уравнения, умноженного на скаляр, к другому;
3) перестановка двух уравнений;
4) перестановка двух столбцов с неизвестными;
5) вычеркивание уравнений вида 0 · x1 + 0 · x2 + · · · + 0 · xn = 0.
Уравнение вида 0 · x1 + 0 · x2 + · · · + 0 · xn = 0 будем называть нулевым.
|
|
|
Обоснование метода Гаусса
Следующая лемма играет ключевую роль в обосновании метода Гаусса.
Лемма. Элементарные преобразования системы линейных уравнений сохраняют множество ее решений, т.е. приводят к равносильной системе.
Доказательство. Тот факт, что множество решений системы сохраняется преобразованиями 3–5, очевиден. Очевидно также, что если верное равенство умножить на любой скаляр, то оно останется верным. Поэтому решение данной системы является и решением системы, полученной из нее умножением одного из уравнений на ненулевой скаляр t. Поскольку исходная система получается из новой преобразованием такого же типа (умножением того же уравнения на скаляр 1/t), всякое решение новой системы является и решением исходной системы. Таким образом, преобразование 1 также не меняет множества решений системы.
Пусть теперь новая система получена из старой прибавлением j-того уравнения, умноженного на скаляр t, к i-тому. Поскольку если верное равенство умножить на любой скаляр t, то оно останется верным и сумма
двух верных равенств – снова верное равенство, всякое решение старой системы является и решением новой. Далее, старую систему можно получить из новой последовательным выполнением трех преобразований –
|
|
|
сначала умножаем j-тое уравнение новой системы (совпадающее с j-тым уравнением старой системы!) на −t, затем прибавляем полученное уравнение к i-тому уравнению новой системы. В силу сказанного выше,
всякое решение новой системы является и решением старой. Таким образом, и преобразование 2 не меняет множества решений системы.
Лемма доказана.
Лестничная система линейных уравнений
Система линейных уравнений вида
c11x1 + c12x2 + · · · + c1r xr + · · · + c1nxn = d1,
c22x2 + · · · + c2r xr + · · · + c2nxn = d2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
crr xr + · · · + crnxn = dr, (2)
где c11 6= 0, c22 6= 0, . . . , crr 6= 0, называется лестничной. В частности, лестничная система может состоять из одного уравнения.
Мы будем использовать этот термин также для обозначения систем вида (2), в уравнениях которых первое слагаемое содержит не обязательно неизвестное x1, второе — не обязательно x2 и т.д.
Например, система
x1 − x3 + 2x4 + x2 = 1,
2x3 + x4 − x2 = 0,
x4 + x2 = 2 является лестничной.
3. Общее описание метода Гаусса
Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 871; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!