Билет 2. Определитель квадратной матрицы. Теорема Лапласа. Свойства определителей.



1)Определитель квадратной матрицы.

Определитель матрицы или детерминант матрицы - это одна из основных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при решении многих задач.

Определение.

Определителем матрицы n×n будет число:

det(A) = Σ (-1)N(α1,α2,...,αn)·aα11·aα22·...·aαnn
  12,...,αn)  

где (α12,...,αn) - перестановка чисел от 1 до n, N(α12,...,αn) - число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n.

Обозначение

Определитель матрици A обычно обозначается det(A), |A|, или ∆(A).

Свойства определителя матрицы:

1.Определитель единичной матрицы равен единице:

det(E) = 1

2. Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.

3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

4. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.

5. Определитель матрицы равен нулю, если две (или несколько) строк (столбцев) матрицы линейно зависимы.

6. При транспонировании значение определителя матрицы не меняется:

det(A) = det(AT)

7. Определитель обратной матрицы:

det(A-1) = det(A)-1

8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.

9. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов).

10. Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.

11. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя:

 

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
. . . .
k·ai1 k·ai2 ... k·ain
. . . .
an1 an2 ... ann
= k
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
. . . .
ai1 ai2 ... ain
. . . .
an1 an2 ... ann

12. Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени:

B = k·A => det(B) = kn·det(A) где A матрица n×n, k - число.

13. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
. . . .
bi1 + ci1 bi2 + ci2 ... bin + cin
. . . .
an1 an2 ... ann
=
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
. . . .
bi1 bi2 ... bin
. . . .
an1 an2 ... ann
+
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
. . . .
ci1 ci2 ... cin
. . . .
an1 an2 ... ann

14. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

15. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц:

det(A·B) = det(A)·det(B)

Методы вычисления определителя матрицы

Вычисление определителя матрицы 1×1

Правило:

Для матрицы первого порядка значение определителя равно значению элемента этой матрицы:

∆ = |a11| = a11

Вычисление определителя матрицы 2×2

Правило:

Для матрицы 2×2 значение определителя равно разности произведений элементов главной и побочной диагоналей:

∆ =
a11 a12
a21 a22
= a11·a22 - a12·a21

Пример 1.

Найти определитель матрицы A

 
A =
5 7

-4 1

Решение:

5 7
-4 1

 

det(A) =        =5·1 - 7·(-4) = 5 + 28 = 33

Вычисление определителя матрицы 3×3


Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 674; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!