Критерий независимости признаков
Рассмотрим результаты 
экспериментов, в которых наблюдения проводились за двумя признаками X и Y.
Признаки могут быть количественными и качественными.
Признаки в экспериментах имели следующие различные значения:
X: x1, ,x2,…,xq
Y: y1, y2,…,yl.
Обозначим 
- число экспериментов, в которых 
и 
.
Тогда результаты 
экспериментов можно представить в виде таблицы сопряженности признаков:
 Y
X
| y1 | y2 | … | yl | 
|
| x1 | m11 | m12 | … | m1l | 
|
| x2 | m21 | m22 | … | m2l | 
|
| … | … | … | … | … | … |
| xq | mq1 | mq2 | … | mql | 
|
| 
| 
| … | 
| n |
Число наблюдений nудовлетворяет условию
(1)
Математическая постановка: - проверка гипотезы
H0 :X и Y независимы.
Проверяется гипотеза при заданном уровне значимости 
.
В качестве статистического критерия выбирается критерий «хи-квадрат» или критерий Пирсона.
Выборочное значение критерия рассчитывается по формуле
(2)
Доказано, что при 
закон распределения случайной величины (2) независимо от того, какому закону подчинена генеральная совокупность, стремится к закону распределения Пирсона или к распределению 
(«хи-квадрат»).
По расчетной формуле
(3)
Строим правостороннюю критическую область
где 
определяется по таблице 5 критических точек распределения 
по уровню значимости 
.
|
|
|
Число степеней свободы
; (4)
где q – число различных значений признака X,
l – число различных значений признака Y.
По таблице 5 определяем 
.
Сравниваем 
и 
:
если 
- нет оснований отвергнуть гипотезу 
, и признаки X и Y независимы.
если 
нулевая гипотеза 
отвергается, и признаки X и Y зависимы.
В примере 1 
.
Тем самым, признаки зависимы. Это значит, что существует зависимость между психическим состоянием человека и полом.
Таблица сопряженности 2х2
Пусть признаки принимают по два альтернативных значения (дихотомические признаки):
признак X: 
признак Y: 
Таблица сопряженности примет вид
| Y
X
| 
| 
| 
|
| m11 | m12 |
|
| m21 | m22 |
|
|
|
| n |
Формула для расчета выборочного значения критерия (3) упрощается:
(5)
Критерий Вилкоксона проверки однородности выборок
Критерий 
обычно применяется в случае больших объемов выборок. При небольших объемах применяется критерий Вилкоксона.
Критерий применяется к случайным величинам, распределения которых неизвестны. Не требуется нормальности распределения выборок.
|
|
|
Требуется, чтобы признаки были непрерывными величинами.
Имеем две выборки
Если две выборки однородны, то они извлекаются из одной генеральной совокупности и имеют одинаковые неизвестные непрерывные функции распределения:
и 
.
Для обеих выборок значения аргумента функций распределения будем обозначать через x.
(двусторонняя критическая область)
в том смысле, что мы большие значения встретим скорее у распределения X, чем у Y.
(критическая область − правосторонняя)
(критическая область − левосторонняя)
Расположим выборки так, что
(1)
Случай 1.
(2)
Правило проверки гипотез.
1) Расположить варианты обеих выборок в возрастающем порядке, т.е. в виде одного общего вариационного ряда, и найти в этом ряду 
- сумму порядковых номеров вариант первой выборки.
Порядковые номера называются ранги.
2) По таблице 11 найти нижнюю критическую точку
,
где
в случае 
:
в случае 
и
в случае 
:
3) Найти верхнюю критическую точку
. (3)
|
|
|
4) Проверить принадлежность критической области:
в случае
если 
принимаем (наблюдения двух выборок принадлежат одной генеральной совокупности);
если 
принимаем (наблюдения принадлежат разным совокупностям).
в случае
если 
принимаем;
если 
принимаем (наблюдения принадлежат разным совокупностям, причем большие значения встретим скорее у распределения X, чем у Y).
в случае
если 
принимаем;
если 
принимаем (наблюдения принадлежат разным совокупностям, причем большие значения встретим скорее у распределения Y, чем уX).
Замечание. В случае с) можно не вычислять верхнюю критическую точку.
Случай 2.
в случае 
:
(4)
где знак 
означает, целую часть числа а, а 
определяется по таблице 2 с помощью равенства
(5)
В остальном правила сохраняются.
в случае 
и
в случае 
:
и нижняя критическая точка определяется по формуле (4), в которой
(6)
В остальном правила сохраняются.
Закон Мальтуса.
В неограниченной стационарной и благоприятной среде размер популяции экспоненциально возрастает.
|
|
|
Закон Мальтуса является одним из основных экологических принципов.
Закон Мальтуса проверен экспериментально и действительно, на начальной стадии, хорошо описывает рост однородных популяций.
Показатель роста 
можно вычислить экспериментально по двум измерениям.
Пусть в момент 
численность популяции 
,
в момент 
− 
. Тогда
Откуда
Логарифмируем
18)2 случай. Учет ограниченности ресурсов. 
(6)
где 
- «ёмкость среды», т.е. максимальная численность популяции, которую может прокормить среда в отсутствии хищника.
Уравнение (2) примет вид
(7)
Уравнение (7) называется логистической моделью.
Решим уравнение (7) методом разделения переменных.
Проинтегрируем уравнение. Левая часть: 
Тогда
Откуда
С учетом начальных условий после преобразований получим
(8)
График уравнения (8) называется логистическойкривой.
Заметим, что
Уравнение (8) описывает популяцию фруктовых вредителей, некоторых видов бактерий, дрожжевых клеток:
Замечание.
До сих пор в модели процессы размножения и гибели происходят одновременно. Но в реальных популяциях интенсивность этих процессов различна в разных возрастных группах.
Если 
- средняя продолжительность жизни, то получим модель
Заметим, что во всех рассматриваемых логистических моделях
при любых начальных состояниях.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 481; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!