Проверка гипотезы о равенстве дисперсий
Результаты наблюдений, записанные в порядке возрастания вариант: называются вариационным рядом. Последовательность чисел называется статистическим рядом и записывается в виде таблицы. . . . . . . Для непрерывных признаков и при большом объеме выборки данные группируются, и результаты представляются в виде интервального статистического ряда. 2)Статистической оценкой математического ожидания называется среднее арифметическое элементов выборки, которая называется выборочное среднееи обозначается . Для выборки объемом n, заданной вариационным рядом : . Для определения рассеяния значений признака около математического ожидания рассматривается параметр, который называется дисперсией распределенияD(X) (генеральной дисперсией) и который определяетсяпо формуле:
Оценки дисперсии и
Среднеквадратичного отклонения
Для выборки статистическая оценка дисперсии, удовлетворяющая требованиям состоятельности и несмещенности, имеет вид
, (4)
Среднеквадратическое отклонение (стандартное отклонение) оценивается величиной
, (5)
|
|
которая называется выборочным стандартным отклонением. Тем самым
и .
Доверительный интервал для математического ожидания
Случай известной дисперсией
Условие (1) для математического ожидания принимает вид
(2)
Для нормального распределения
. (3)
Из (2) и (3) имеем уравнение для определения d
. (4)
Введем обозначение: .
Тогда
.
Значение определяется по таблице 2 значений функции Лапласа.
Например, для и в таблице 2 находим:
1,96 | 0,4750 |
Следовательно, .
После определения определяем точность оценки по формуле:
(5)
и границы доверительного интервала:
и (6)
Таким образом, с надежностью доверительный интервал содержит в себе генеральное среднее (математическое ожидание) а.
|
|
Оценка достоверности различий между результатами измерений и фиксированной величиной с помощью доверительного интервала
В практической деятельности по контролю состояния окружающей среды нередко возникает необходимость сравнить результаты измерений с какой-либо заданной фиксированной величиной. Наиболее типичный случай – сравнение с величиной предельно допустимой концентрации (ПДК) загрязняющего вещества в объектах окружающей среды.
Пусть фиксированная величина – ПДК, тогда
если > ПДК ПДКпревышена (с надежностью ):
если < ПДК ПДК не превышена (с надежностью ):
если <ПДК < различия между и ПДК недостоверны (с надежностью ):
.
В % случаев наши выводы могут оказаться неверными.
4)Случай больших выборок.
Приведенные выше расчеты доверительного интервала применяются и в случаях с неизвестной дисперсии, но только если объем выборок , т.е. в случаях больших выборок.
В этом случае в формулах (3) и (4) вместо используется его вычисленная по выборке несмещенная оценка , т.е. считаем, что .
Минимальный объем выборки.
Если требуется оценить математическое ожидание с наперед заданной точностью оценки d и надежностью , то из формулы (3) получим формулу для минимального объема выборки, который обеспечит эту точность:
|
|
.
5)Статистической гипотезой называется предположение о виде распределения или о параметрах известных распределений.
Ошибки принятия гипотез
Ошибка 1 рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.
Ошибка 2 рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.
принимается | отвергается | |
верна | Решение правильное | Ошибка 1 рода |
неверна | Ошибка 2 рода | Решение правильное |
Вероятность допустить ошибку 1 рода называют уровнем значимости.
Вероятность задается заранее, при этом обычные значения : 0,1; 0,05; 0,005; 0,001.
Проверка гипотезы о равенстве дисперсий
На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, методов измерений, технологий.
Очевидно, предпочтительнее взять тот прибор, инструмент и т.п., который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию.
|
|
Проведем измерения на двух приборах.
Пусть все возможные измерения первым прибором − Х и этим прибором проведено измерений, и по ним вычислена − оценка .
Пусть все возможные измерения вторым прибором − Y и этим прибором проведено измерений, и по ним вычислена − оценка , причем .
Требуется по выборочным средним и заданном проверить значимость этого различия.
Краткое условие:
Х: ,
Y: , причем .
Сформулируем гипотезу:
Зададим или в зависимости от конкретной задачи.
Вычислим
,
где - большая дисперсия, а - меньшая дисперсия.
Соответствующая случайная величина F − статистический критерий данной задачи − имеет распределение Фишера – Снедекора.
Если , то выборочное значение критерия
.
Критическая область - правосторонняя.
Для определения найдем степени свободы:
,
где - объем выборки с большей дисперсией
- объем выборки с меньшей дисперсией .
Критические значения распределения Фишера представлены в таблице 7 или .
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 485; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!