Алгоритм обработки экспериментальных данных с помощью метода наименьших квадратов.
- Предварительная обработка данных. На этом этапе, как правило, осуществляется устранение помехи, действующей на объект и обусловленной случайными факторами, путем использования фильтров, например, скользящего среднего, метода четвертых разностей, экспоненциального фильтра и т.д. Случайная составляющая помехи встречается практически при любых измерениях.
- Собственно идентификация. Это определение параметров математической модели по экспериментальным данным. При этом вид математической модели (это может быть уравнение прямой, параболы или любая другая зависимость) выбирается заранее. Определение параметров в общем случае – это поиск минимума многомерной функции-критерия.
- Оценка результатов моделирования, т.е. оценка адекватности математической модели, которая состоит в определении степени соответствия математической модели данным эксперимента.
Как определяются коэффициенты регрессионных функций при линейном характере экспериментальных данных?
Будем искать приближающую функцию в виде:
Абсолютная разность для определяется следующим образом:
формулу (10.2) перепишем в виде:
Рассматриваемая сумма является функцией с двумя параметрами Задача сводится к отысканию минимума этой функции. Используем необходимое условие экстремума:
т.е.
(10.3)
|
|
Решив систему двух уравнений с двумя неизвестными относительно параметров и , получим конкретный вид искомой функции Опуская математические выкладки, запишем выражения для искомых параметров:
(10.4)
Рассчитав значение , получим величину среднеквадратичной ошибки рассматриваемого приближения.
Замечание: найденные значения и определяют точку экстремума . Используя неравенство Коши-Буняковского можно доказать, что в этой точке функция принимает минимальное значение
Как определяются коэффициенты регрессионных функций при гиперболическом характере экспериментальных данных?
Приближающая функция имеет вид
(10.20)
Для перехода к линейной функции сделаем подстановку . Получим
Перед нахождением приближающей функции вида 10.20 значения аргумента в исходной таблице 10.1 необходимо заменить обратными числами и найти для новой таблицы 10.7 приближающую функцию в виде линейной регрессии (10.4).
|
|
Рис. 10.7 График гиперболической функции
Окончательно получим
(10.21)
Как определяются коэффициенты регрессионных функций при экспоненциальном характере экспериментальных данных?
Показательная зависимость имеет вид
(10.8)
Во всех случаях при . Если то при кривая растет с увеличением тем быстрее, чем больше При она приближается к оси абсцисс с возрастанием тем быстрее, чем больше абсолютная величина
Рис. 10.3 График показательной функции
(10.9)
приняв обозначения перепишем (10.9) в виде:
(10.10)
|
|
Окончательно получаем:
(10.11)
Рис. 10.4
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 289; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!