Производная функции по направлению
Пусть функция непрерывная и дифференцируемая, вектор задает направление. Пусть имеется точка и в направлении от нее точка рис. Вектор имеет координаты , , , т. е. .
Модуль вектора , , , .
Косинусы cosa, cosb, cosg называются направляющими косинусами вектора . Если вектор единичный , то и его координатами являются направляющие косинусы, т. е. . Производной функции по направлению вектора в точке называется предел отношения приращения функции в этом направлении к приращению длины (модуля) вектора , при стремящемся к нулю , т. е. . Находим . Таким образом, получена формула дифференцирования функции по направлению вектора .
Градиент функции, его свойства
Градиентом функции называется вектор , где - единичные векторы координатного базиса в прямоугольной декартовой системе координат. Кратко можно записать . Здесь Ñ- знак набла. Теорема 3.5. Производная функции по направлению вектора равняется проекции градиента этой функции на это направление, т. е. . Известно, что проекция некоторого вектора на направление вектора равняется .
Здесь j- угол между векторами и , - скалярное произведение векторов, - единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором .
Найдем .
Свойство 1. Производная функции по направлению вектора достигает своего наибольшего значения, если направление вектора совпадает с направлением градиента этой функции. Действительно, производную данной функции по направлению вектора можно записать следующим образом , где j- угол между градиентом и вектором . Если этот угол равен нулю j = 0 , то косинус этого угла и производная функции принимают наибольшие значения, cos0 = 1, . Свойство 2. Производная функции по направлению вектора равняется нулю, если направление вектора перпендикулярно направлению градиента этой функции. Действительно, . Данные свойства используются при решении задач оптимизации (нахождения наибольшего, наименьшего значений функций) с помощью численных методов. Градиент функции определяет направление наибольшего изменения функции. Направление перпендикулярное градиенту определяет направление, в котором функция не изменяется. Известно, что на поверхности уровня функция не изменяется. Следовательно, градиент функции перпендикулярен поверхности уровня. Это обстоятельство можно использовать для написания уравнения касательной плоскости к поверхности . Пусть точка принадлежит поверхности. Найдем градиент функции в этой точке и напишем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Получаем уравнение касательной плоскости .
|
|
2. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами.Общее решение неоднородного уравнения, как было показано ранее (теорема 7.4), находится как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, т. е. , где - линейно независимые решения однородного уравнения;
|
|
-произвольные постоянные; - частное решение исходного неоднородного уравнения. В общем случае линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид , где - постоянные величины. Частные решения однородного уравнения ищут в виде . Производные этой функции равны . Подставляем функцию и ее производные в однородное уравнение . Делим это уравнение на , получаем уравнение . Данное уравнение называется характеристическим. Характеристическое уравнение является алгебраическим уравнением n-ой степени относительно l. Любое алгебраическое уравнение n-ой степени имеет в комплексной плоскости n корней. Рассмотрим все возможные случаи решения однородного дифференциального уравнения в зависимости от вида корней его характеристического уравнения. Случай 1. Все корни характеристического уравнения вещественные различные. В этом случае дифференциальное уравнение имеет n линейно независимых частных решений . Общее решение однородного уравнения имеет вид или , где - произвольные постоянные.Случай 2. Характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней , где . Тогда этим корням соответствует два линейно независимых комплексно-сопряженных решения , . Из этих решений составляют два линейно независимых действительных решения . Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид или . Случай 3. Характеристическое уравнение имеет действительный корень l кратности k. Тогда ему соответствуетk линейно независимых частных решения однородного уравнения, которые имеют вид . Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид . Случай 4. Характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней кратности k. Тогда этим корням соответствует 2k линейно независимых частных решений однородного уравнения, которые имеют вид . Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид
|
|
Или
3. Интегральный признак Коши.Если члены знакоположительного ряда , являющиеся значениями функции целочисленного аргумента , монотонно убывают и стремятся к нулю , то: 1) если сходится, то и ряд сходится; 2) если расходится, то и ряд расходится. Д о к о з а т е л ь с т в о. В прямоугольной декартовой системе координат непрерывная кривая проходит через точки и ограничивает сверху криволинейную трапецию ABCD (рис. 86). Площадь этой криволинейной трапеции равняется . Построим две ступенчатые фигуры с угловыми точками . Эти ступенчатые фигуры состоят из прямоугольников, основания которых равняются единице, а высоты значениям . Найдем площади этих фигур. , ,
|
|
где -n-я частичная сумма ряда. Площади этих ступенчатых фигур ограничивают площадь криволинейной трапеции ABCD снизу и сверху Û .
Рассмотрим левую часть этого неравенства Û .
При неограниченном возрастании числа n членов ряда частичные суммы ряда монотонно возрастают, так как ряд знакоположительный. При этом интеграл также возрастает и ограничен величиной интеграла . Поэтому , т. е. последовательность частичных сумм ограничена. По теореме Вейерштрасса существует предел . Следовательно, ряд сходится. Рассмотрим правую часть неравенства Û . По условию теоремы . Если неограниченно возрастает, то и предел частичных сумм неограниченно возрастает и, следовательно, ряд расходится. Таким образом, интегральный признак Коши в принципе позволяет для любого ряда решить вопрос о его сходимости. Трудность в его применении заключается в нахождении несобственных интегралов. Возможности в их нахождении ограниченные.
Билет 17.
1.Теорема Лагранжао конечном приращении функции. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируемая в каждой его внутренней точке, то на интервале (a, b) найдется такая точка х = с, что .
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 226; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!