Необходимые условия дифференцируемости функций нескольких переменных.
Билет 11.
№1. Множества и т.д.:Множеством называется совокупность некоторых элементов. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т. п. Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства. 
-множество чисел. В общем случае множество элементов х с помощью определяющего свойства f(x) записывается в виде 
. Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается 
. Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении."-квантор общности, используется вместо слов «для всех, $- квантор существования, используется вместо слов «существует». Операции над множествами: Два множества А и В равны,если они состоят из одних и тех же элементов. Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А È В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А Ç В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.Разностью множеств А и В называется множество А \ В, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.Симметрической разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств А \ В и В \А , т. е. А Δ В = (А \ В) È (В \А).Свойства операций над множествами: 1. Свойство перестановочности (коммутативность) для объединения и пересечения множеств, т. е. А È В = ВÈ А; А Ç В = В Ç А. 2. Сочетательное свойство (ассоциативность) для объединения и пересечения множеств, т. е. (А È В) ÈС= А È (В È С); (А Ç В) Ç С= АÇ (ВÇС). 3. Распределительное свойство (дистрибутивность) для объединения и пересечения множеств: 1) (А È В) ÇС= (А Ç С) È (В Ç С);
|
|
|
Декартово произведение множеств. Декартовым произведением множеств называется множество точек 
. Модуль числа, его свойства: По определению 
1) 
; 2) 
; 3) 
или 
; 4) 
. Грани числовых множеств: Число К называется верхней гранью множества А, если 
. Если С > 0, то К + С также является верхней гранью этого множества. Число k называется нижней гранью множества А, если 
. Если С > 0, то k- С также является нижней гранью этого множества. Счетные и несчетные множества: Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие. Если это соответствие взаимнооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А ~ В или АÛ В. Последовательностью называется множество чисел, перенумерованных с помощью натуральных чисел и расставленных в порядке возрастания их номеров 
. Счетным множеством называется множество эквивалентное множеству натуральных чисел.
|
|
|
№2. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа и Пеано.
Если в некоторой окрестности точки х = а функция y=f(x) имеет конечные производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любой точки этой окрестности справедлива формула
, где 
. 
. Данное выражение для 
называется остаточным членом в форме Лагранжа. Если представить x в виде 
, где 
, то остаточный член примет вид
. В частном случае, если 
, 
, то формула Тейлора примет вид
При n = 0 из формулы Тейлора получается формула теоремы Лагранжа о конечном приращении функции 
.Найдем 
, т. е. остаточный член 
является бесконечно малой функцией по сравнению с 
. Поэтому его можно кратко записать следующим образом 
. Данная запись остаточного члена называется в форме Пеано.
№3. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида 
. Если числовой ряд 
сходится, то предел его k-ого члена равен нулю: 
,если 
, то ряд расходится.
1. Если сходится числовой ряд , то сходящимся будет и ряд 
. Другими словами, сходящимся будет и ряд без первых m членов. Если к сходящемуся числовому ряду добавить несколько членов (от первого до m-ого), то полученный ряд также будет сходящимся.
|
|
|
2.Если сходится числовой ряд и его сумма равна S, то сходящимся будет и ряд 
, причем 
, где A – произвольная постоянная. 3.Если сходятся числовые ряды и 
, их суммы равны A и B соответственно, то сходящимися будут ряды 
и 
, причем их суммы будут равны A + B и A - B соответственно.
Билет 12.
1.
Необходимые условия дифференцируемости функций нескольких переменных.
Теорема.
Если функция нескольких переменных, дифференцируемая в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. По определению, функция является непрерывной, если 
. Найдем 
.Следовательно, 
непрерывная.
Теорема.Если функция нескольких переменных, дифференцируемая в точке, то она имеет частные производные в этой точке.
Доказательство. Пусть дифференцируемая. Если y= const, то Dy = 0. Тогда 
.
Если x= const, то Dx= 0. Тогда 
.
Уравнение Бернули
В общем случае уравнение Бернулли имеет вид 
, 
, здесь 
- непрерывные функции.
Поделим уравнение на 
, получим 
.
Данное уравнение приводится к линейному уравнению с помощью подстановки
|
|
|
или 
.
Найдем 
Þ 
и подставим в исходное уравнение, получим линейное уравнение относительно переменной z.
.
Теорема Лейбница
Если члены знакочередующегося ряда 
монотонно убывают 
и стремятся к нулю 
, то ряд сходится; причем сумма ряда по абсолютной величине не превосходит первого члена ряда 
.
Доказательство. По определению знакочередующегося ряда
.
Так как члены ряда монотонно убывают ( 
), то разность в каждой скобке суммы 
больше нуля и эта сумма монотонно возрастает с увеличением числа членов 2n
.
Так как в этой сумме также разность в каждой скобке больше нуля, то сумма монотонно убывает с увеличением числа членов 2n и не превосходит первого члена ряда 
.
предел частичных сумм ряда с нечетным числом членов.
.
При нечетном числе членов ряда сумма 
также не превосходит первого члена ряда .
.
Таким образом, предел частичных сумм знакочередующегося ряда существует, т. е. ряд всегда сходится, если его члены монотонно убывают и стремятся к нулю.
Частичные суммы знакочередующегося ряда меньше первого члена ряда
. Члены ряда стремятся к нулю , поэтому сумма ряда не может превосходить первого члена ряда .
Билет 13.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 513; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!