Сформулировать и доказать вторую основную теорему двойственности. В чем состоит экономическое содержание второй основной теоремы двойственности?
Для того чтобы допустимые решения исходной 
и двойственной 
задач являлись оптимальными решениями соответствующих задач двойственной пары необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
Т.е. если какое-либо нер-во системы ограничений одной из задач не обращается в точное равенство оптимальным решением этой задачи, то соответствующая компонента оптимального решения двойственной задачи должна быть равна 0. Если же какая-либо компонента оптимального решения положительна, то соотв-ее ей ограничение в двойственной задаче должно быть обращено в точное равенство.
Другими словами: 1)если хj0>0,то 
aijyi0=cj; 2)если aijyi0>cj , то xj0=0; 3)если yi0>0, то aijxj0=bi; 4)если aijxj0<bi,то yi0=0. j= 
, i= 
Если по оптимальному плану расход i-того ресурса < его запасов, то оценка этого ресурса=0. Если же оценка>0, то расход этого ресурса равен его запасу. Таким образом, дефицитный (полностью используемый по оптимальному плану) ресурс имеет положительную оценку в двойственной задаче, а недефицитный – нулевую оценку.
С точки зрения пр-ва: если оценка ресурсов, расходуемых по j-ой технологии больше цены продукта, то j-ая технология не применяется (xj=0). Если же по некот. плану j-ая технология применяется (xj>0), то оценка ресурсов, расходуемых по данной технологии, равна цене продукта.
Док-во:
Оптимальные решения Х* и Y* как допустимые решения удовлетворяют следующим неравенствам: 
. Умножим первое из них на Y*, а второе на X*, тогда 
. Поскольку Y*B=CX*, то левые части неравенства равны и каждая равна нулю:
|
|
|
. В развёрнутой форме 
; 
, что и требовалось доказать
Сформулировать и доказать третью основную теорему двойственности. В чем состоит экономическое содержание третьей основной теоремы двойственности?
Пусть дана пара двойственных несимметричных задач:
(i=1,m) , (j=1,n)
Предположим, что мы решили исходную задачу:
Zmax=Z0(X0)
Тогда предположим, что – оптимальное решение 2ой задачи.
Теорема: значения переменных Yi0 в оптимальном решении двойств. Задачи представляют собой оценки правых частей bi системы ограничений исходной задачи на величину максимума целевой функции:
Доказательство:
Экон.смысл: двойственная оценка ресурса – это приращение прибыли, приходящейся на единицу приращения этого ресурса. Здесь речь идет лишь о достаточно малых приращениях ресурсов, так как изменение величины 
в некоторый момент вызовет изменение оценок 
. Оценки позволяют выявить направление мероприятий по расшивке узких мест производства (ресурсы с положительной двойственной оценкой), обеспечивающих получение наибольшего экономического эффекта.
|
|
|
Из 2-ой и 3-ей теорем следует, что часть ресурсов, у которых двойственные оценки будут отличны от 0, необходимо будет пополнять для продолжения выпуска продукции. Недостающие ресурсы должны быть пополнены, причем в оптимальном количестве.
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 440; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!