Решение задачи «порядковцами».
Воспользовавшись известной формулой S=1/2 а в имеем, чтоSАВС= SВСD.
Далее из АВС и ВСD вычислим еще более мелкие:
SАВО+ SВСО= SСDО + SВСО SАВО = SСDО.
Решение «метристов».
АDО подобен ВСО, тогда ВО : ОD= СО: ОА и АО* ВО=СО*DО. Умножив обе части на ½ sinα, получаем: 1/2АО*ВО*sinα = 1/2СО*ОД*sinα ,где а=<AOB=<COD, cледовательно, SABO = SCDO.
5. 
Решение «алгебристов».
Можно предложить метод от противного. Допустим, что SABO = SCDO,тогда
SABD = SACD и ВС не параллельно АD. Получим противоречие, потому что АВСD- трапеция и ВС параллельно АД, значит, допущение неверно и
SABO=SCDO.
ГЛАВА № 3.
Задачи, решаемые разными способами.
ЗАДАЧА № 1.
Через точки M и N , лежащие на стороне АС угла ВАС, проведена окружность, касающаяся прямой АВ. Найти радиус окружности, если АМ=а, АN=b и ∟ ВАС =α.
Способ 1.( координантный)
Введем на плоскости прямоугольную систему координат с началом в точке А и осью абcцисc, имеющей направление луча АВ. Воспользуемся тем, что если L - точка касания окружности с прямой АВ, то АL= √ а*в. Значит, центр О окружности , лежащий внутри угла ВАС, будет иметь координаты: О (√а*в; r), где r- радиус окружности. А так как АМ= а и ∟ВАС= α, то
точка М имеет координаты: М (а cos α ; a sinα ).
Применив формулу расстояния между двумя точками (О и М) и учитывая, что ОМ=r, получаем уравнения:
|
|
|
(а cos α - √а*в)2+( а sinα - r )2=r2 .Отсюда:
r = (a + b - 2√ а*в*cosα ): 2sinα (1).
Радиус r / второй окружности, касающейся оси абcцисс в точке L / (-√ав; r), очевидно , будет.
r/ = (а+в+2 √а*в *cosα) : 2 sinα (2).
При а = 2, в = 6 и а = 300 получим: r = 2 и r = 14
Заметим, что если не пользоваться соотношением AL=√ а*в, вытекающим из теоремы о секущей и касательной к окружности, то решение задачи усложняется составлением системы из двух уравнений, используя условие ОМ=ОN=r.
Способ 2. (векторный)
Рассмотрим четырехугольник АМОL. Согласно правилу сложения векторов, имеем: ОМ=OL+LA+AM.
Вычислим скалярный квадрат вектора ОМ. Учитывая, что АМ = а,
АL= √а*в, ОМ=ОL= r, ∟А=α, ∟ALD=900 , получим:
R2 = r2+aв+a2+2ar cos (90+α)+2а √ав * cos ( 180-α) отсюда переходим к равенству: r=(a+в -2 √aв * cosα): 2 sinα.
Вторая окружность, проходящая через точки M и N, касается стороны угла, смежного с углом ВАС, поэтому, заменив здесь α на1800 – α, получим формулу (2) для вычисления радиуса r второй окружности.
Способ 3. (тригонометрический)
В четырехугольнике АМОL имеем: АМ = а, АL = √ав, ОМ = ОL = r,
∟MAL = α, ∟L = 900. Пусть LM = y и ∟ALM =ᵦ.
|
|
|
Применим теорему косинусов и синусов к треугольнику ALM. Получим:
у2 = а2 + ав – 2а√ав.cosα и у /sinα = a/sinᵦ.
Треугольник LOM равнобедренный, OL = OM = r, ∟OLM = 900 - ᵦ. Снова применим теорему синусов, получаем еще одно уравнение: у = 2r sinᵦ.
Исключив из двух последних уравнений sinᵦ, представим у2 в виде 2ar sinα и подставим полученное выражение для у2 в первое уравнение. Тогда
2r sinα = a + в - 2√ав cosα.
Отсюда находим r, т.е. r = (а + в - 2√ав cosα)/2sinα.
Далее поступаем так же, как при решении задачи способом 2.
Рассмотрев равенства (1) и (2) имеем:
r + r/ = (а + в)/sinα и r - r/ = (2√ав cosα)/sinα.
Способ 4. (геометрический)
Пусть α < 900. Соединим точки О и О/ отрезкоми проведем радиусы окружностей OL и O/L/. Получим прямоугольную трапецию OLL/O/. Проведем высоту трапеции ОД.
Из условий AL = AL/ = √ав следует, что ОД = LL/ = 2√ав. Находим О/Д = r – r/ и ∟OO/ L/ = 1800 - ∟MAL/ = α. Т.о. из прямоугольного треугольника ОД O/ имеем:
r - r/ = 2√ав ctgα (3).
Центры О и О/ окружностей лежат на серединном перпендикуляре к отрезку MN. Пусть Е – середина отрезка MN и F – середина отрезка ОО/. В силу свойства средней линии имеем: AF = (r + r/)/2 и AF║L/O/.
Значит, ∟AFE = α. Легко установить, что АЕ = (а + в)/2.
|
|
|
Из прямоугольного треугольника AFE находим:
AF = (а + в)/2sinα, значит, r + r/ = (а + в)/sinα (4).
Сложим почленно равенства (3) и (4), затем из второго вычтем первое и получим выражения (1) и (2) соответственно. Легко проверить, что формулы верны и в том случае, когда α = 900.
ЗАДАЧА № 2.
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 214; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!