Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Вписанная и описанная окружности
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Теорема 1. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
Теорема 2. Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
2.Теоремы (свойства параллелограмма):
· В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны: 
, 
, 
, 
.
· Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: 
, 
.
· Углы, прилежащие к любой стороне, в сумме равны 
.
· Диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника.
· Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: 
.
Признаки параллелограмма:
· Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
· Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
· Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
· Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
· Середины сторон произвольного (в том числе невыпуклого или пространственного) четырехугольника 
являются вершинами параллелограмма Вариньона.
|
|
|
· Стороны этого параллелограмма параллельны соответствующим диагоналям четырехугольника 
. Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника, а площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника
·
3.Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две стороны не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, две другие — боковыми сторонами.
Высота трапеции — расстояние между прямыми, на которых лежат основания трапеции, любой общий перпендикуляр этих прямых.
Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Свойство трапеции:
Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон: 
, а средняя линия — полусумме боковых сторон: 
.
Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны . Тогда равны диагонали 
и углы при основании 
, 
.
Из всех трапеций только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, так как окружность можно описать около четырехугольника, только если сумма противоположных углов равна .
|
|
|
В равнобедренной трапеции расстояние от вершины одного основания, до проекции противоположной вершины на прямую, содержащую это основание равно средней линии.
Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой один из углов при основании равен 
.
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Доказательство. Пусть E — точка пересечения хорд AB и CD (рис. 110). Докажем, что AE * BE = CE * DE.
Рассмотрим треугольники ADE и CBE. Их углы A и C равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу BD. По аналогичной причине ∠D = ∠B. Поэтому треугольники ADE и CBE подобны (по второму признаку подобия треугольников). Таким образом, DE/BE = AE/CE, или
AE * BE = CE * DE.
Теорема доказана.
5. Прямоугольником могут быть параллелограмм, квадрат или ромб.
1. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину, то есть они равны:
AB = CD, BC = AD
2. Противоположные стороны прямоугольника параллельны:
AB||CD, BC||AD
3. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Все четыре угла прямоугольника прямые:
|
|
|
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Сумма углов прямоугольника равна 360 градусов:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Диагонали прямоугольника имеют одинаковой длины:
AC = BD
7. Сумма квадратов диагонали прямоугольника равны сумме квадратов сторон:
2d2 = 2a2 + 2b2
8. Каждая диагональ прямоугольника делит прямоугольник на две одинаковые фигуры, а именно на прямоугольные треугольники.
9. Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:
|
|
| AO = BO = CO = DO = | d |
| 2 |
10. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности
11. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности
12. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 180 градусов:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. В прямоугольник, у которого длина не равна ширине, нельзя вписать окружность, так как суммы противоположных сторон не равны между собой (вписать окружность можно только в частный случай прямоугольника - квадрат).
6. Теорема Фалеса
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки
|
|
|
Обратная теорема Фалеса
Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 4396; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!